複素数と平方根の問題(パラドックス?)

突然ですが、高校数学IIの問題です。(a/b=a÷b)
(1) √(-2)×√(-3)=?
(2) √(-27)/√9=?
教科書を見ると、以下のように解いています。(i:純虚数)
(1) √(-2)×√(-3)=(i√2)×(i√3)=-√6
(2) √(-27)/√9=(i3√3) / 3=+i√3

しかし、次のような解き方を行ったとします。
(1') √(-2)×√(-3)=√[(-2)×(-3)]=+√6
(2') √(-27)/√9=√[27/(-9)]=√[3/(-1)]=√3/i=-i√3
教科書で書いてある方法と比べると、最後の答えの符号が違っているので、これは間違っているのでしょうね。
何をやったかというと、正の数に限らないaとbに対して、
(☆)　　√a × √b = √(a × b) , √a / √b = √(a / b)
を実行したのです。分数で、負符号は分母にあっても分子にあっても良い筈[27/(-9)=(-27)/9]です。(2')ではこのことを利用して、分子にあった負符号を分母に移動させました。

どうして、下の方法はダメなのでしょうか?
負の数a、bに対しては(☆)は成立しないのでしょうか?

No.4 回答者： bttf2003 回答日時： 2004/11/20 20:28

高校数学IIでは、複素数の正確な定義を教えてくれなかったと思います。

大学の数学の教科書を見るとすぐに分かるのですが、複素数は、一次元ではなく二次元で表現されます。これを複素平面といいます。Ｘ軸が実数の直線、Ｙ軸が虚数の直線です。
だから、複素数は必ず、２つの数の組み合わせで表します。
例えば
√(-2)=（√(+2),i)
√(-3)=（√(+3),i)　とあらわされ
√(-2)×√(-3)計算は、Ｘ軸の数同士を掛け算し、
Ｙ軸の数同士を掛け算します。するとＸ軸の計算は
√(2*3)=√(6)
Ｙ軸の計算は
i*i=i^2=-1 （なぜならば、定義による。なお-1はＸ軸上にあることに注意すること）よって
√(-2)×√(-3)=(√(6)*(-1),0)=-√(6)
となります。
同様に(2)の問題も、Ｘ軸の数同士を割り算し、Ｙ軸の数同士を割り算すると
√(-27)/√9=(√(3),-i)=-i√(3)
となります。（この計算で（0,0i)以外は、割り算が可能なことに注意すること）
もっと、詳しいことは「大学生用教科書」の複素数平面に関する説明を読んでください。

なお、この計算方法を高校のテストに書くと０点をもらいますから、注意して下さい。
（私は、高校の先生と論争をして、正解の○をもらいましたけれど）

この回答への補足

しかし、√(-2)=(√2,i)というのは、変な気がします。そもそも、右辺がベクトルで左辺がスカラー量で書いてある時点で違和感がありませんか。√(-2)を複素平面上の点と見なそうと思うならば、(X,Y)=(0,√2)となる気がします。実軸どうし虚軸どうしを書けるというのもピンと来ません。
しかし、積√(-2)×√(-3)の「意味」を複素平面上(X,Y)で考えることには、はっとさせられました。正しい計算(1)では何をやっているかというと、i=exp{+iπ/2}なので、虚軸上にある点(X,Y)=(0,√2)を√3倍して伸ばし、純虚数iを掛けることで、複素平面上を正の向き(反時計回り)にπ/2だけ回転させる、そうすると(-√6,0)という実軸上に来る。そういうことなんですよね。

補足日時：2004/11/23 17:58

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2004/11/23 17:58

No.3 回答者： onakyuu 回答日時： 2004/11/20 19:10

No1様のいうとおりなのですが、補足すると。

まずmtnohrさんの計算☆が正しいとすると
1=√1=√[(-1)(-1)]=√(-1)√(-1)=i^2=-1
になってしまうのでこれはおかしいです。

本来、２乗根は２つ解を持つ２価関数なのです。
たとえば４の２乗根は±２で、２個あります。
√という記号を使った場合はそのうちプラスの
物のほうを取るわけですが、√の中身が正の実
数でない場合には２つのうちどちらを取ったら
よいかに多少問題があるわけです。
たとえば、－１の２乗根は±iですから√(-1)=-i
としてもよいようにおもえませんか。
しかし、教科書をちゃんと見てもらえば√(-1)=iと
定義すると書いてあると思います。
２つあるもののうち１つだけを便宜上√(-1)=i
と書いたということなのでルートの中にマイ
ナスがある場合には通常の演算☆は成り立た
ないわけです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

x^{2}=4の解を2乗根と呼び、それは勿論±2の2つあります。ですが、√4=2であって、√4=-2ではない筈ですよね。それと同じく、√(-1)=iと定義したならば、-√(-1)=-iとしなければならず、この点に関する曖昧さは無いと思うのです。
それと、最後の文章の論理が今ひとつ掴めませんでした。√(-1)=iを選ぶ任意性と(☆)式の不成立とは関係ないように思えるのですが....私の理解不足なのかもしれません。

お礼日時：2004/11/23 15:05

No.2 回答者： edomin 回答日時： 2004/11/20 19:08

(1') √(-2)×√(-3)=√[(-2)×(-3)]=+√6

√(-2)×√(-2)は、いくつになりますか？

「-2」ですよね・・・

あなたの計算方法だと、「2」になってしまいます。

No.1 回答者： Rossana 回答日時： 2004/11/20 18:31

＞負の数a、bに対しては(☆)は成立しないのでしょうか?

Yes.