置換積分のやり方

とあるサイトで、積分問題を配布してたので、解いていました。
置換積分を解いていたら、なぜこのようになるのか、わからなかったところがあったので、教えて欲しいです。
画像の積分で、被積分関数はx+2/(x-1)^3 です。式の、３行目までなら理解はできたのですが、４行目の、-1/t-3/2t^2+cになる理由がわかりません。　なぜそのような積分結果が出るのか、教えて欲しいです。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/21 10:19

∫t²dtなら積分できますか？

=(1/3)t³＋Cですよね
積分のとき指数部分は1つ大きくして、t²→t³
「積分と微分は真逆の操作」　の関係にありますから
微分したときにt²に戻らなければいけないから、1/3を係数につけて
(1/3)t³＋Cとすれば完了です（(1/3)t³＋Cを微分すれば{(1/3)t³＋C}'=(1/3)・３t²＋０＝ｔ²　で元に戻ります）
画像の積分も同じ要領です。

また、指数法則について
t=t¹にｔをかけるとt²
更にｔをかけるとt³
・・・
ｔを１つかけるたびにｔの何乗の部分が１つ大きくなります。
反対にt¹をtで割ると1=t⁰
更にｔで割ると1/t=t⁻¹
更に更にｔで割ると1/t²=t⁻²
・・・
というようにｔで割るたびに(1/tをかけるたびに）tの何乗の部分が１つ小さくなります。

これらをふまえて
1/t²dt=∫t⁻²dt=(-1)・(t⁻¹)＝-1/t ・・・積分定数省略　
t⁻²の積分は指数部分を1つ上げて-1乗。微分したときに元の形と一致するように-1を付け加えて完了です！
同様に∫3/t³dt=3∫1/t³dt＝3∫t⁻³dt=3x(-1/2)xt⁻²＝-3/2t²
3/t³=３ｘ(1/t³)とみなして1/t³=t⁻³を積分
指数部分を１つあげて、-2乗。微分ししたときに元の形と一致するように-1/2を付け加えます。積分記号左側に出した３を忘れずに付け加えて完了です！

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/21 09:25

積分の公式の「最も基本」である、a≠-1 のときの

　∫x^a dx = x^(a + 1)/(a + 1) + C　(C：積分定数）

ですよ。
↓　積分公式のサイトの例：一番上に載っています。
https://mathtrain.jp/integral_matome

1/t^2 = t^(-2) なので、上記の公式で a=-2 としたものが（積分定数は省略して）
　∫t^(-2) dx = t^(-2 + 1)/(-2 + 1) = -t^(-1) = -1/t

3/t^3 = 3t^(-3) なので
　∫3t^(-3) dx = 3∫t^(-3) dx = 3t^(-3 + 1)/(-3 + 1) = -(3/2)t^(-2) = -3/(2t^2)

ここに疑問があるようでは、積分の基礎ができていないということですよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/20 13:50

(d/dt)t^n=nt^(n-1),

つまり)t^nをｔで微分するとnt^(n-1)
積分ですから、この逆を行っています
∫1/t²dt=∫t⁻²dt=(-1)・(t⁻¹)＝-1/t ・・・積分定数省略　t⁻²の積分は指数部分を1つ上げて-1乗。微分したときに係数が一致するように-1を付け加えて完了です！
同様に∫3/t³dt=∫3t⁻³dt=3x(-1･2)xt⁻²＝-3/2t²です^-^