必要条件十分条件の問題です (1) xz=yzであることは、x=yが成り立つための必要条件である。

Question

必要条件　十分条件の問題です

(1)   xz=yzであることは、x=yが成り立つための必要条件である。

(2)    a,bが共に実数であることは、a+b及びabが共に実数であるための十分条件である。

これらの答えがなぜこうなるのかを教えてください。

springside · Accepted Answer

(1)
まず、「xz=yz　→　x=y」が成り立つかどうかを考えます。
これは、z=0のときにはx=yとは限らないので、成り立ちません。

一方、「xz=yz　←　x=y」が成り立つかどうかを考えます。
これは、必ず（z=0であろうがなかろうが）成り立ちます。

なので、「xz=yz　←　x=y」が成り立ち、「xz=yz　→　x=y」が成り立たないので、
xz=yzであることは、x=yが成り立つための必要条件（で、十分条件ではない）です。

(2)
まず、「a,bが共に実数である　→　a+b及びabが共に実数である」が成り立つかどうかを考えます。
これは、明らかに必ず成り立ちます（実数の和と積は実数になる）。

一方、「a,bが共に実数である　←　a+b及びabが共に実数である」が成り立つかどうかを考えます。
これは、成り立ちません。
例えば、a=i、b=-iのとき、a+b=0、ab=1で、共に実数ですが、「a,b共に実数」ではありません。
（注：i=√-1です）

なので、「a,bが共に実数である　→　a+b及びabが共に実数である」が成り立ち、「a,bが共に実数である　←　a+b及びabが共に実数である」
が成り立たないので、a,bが共に実数であることは、a+b及びabが共に実数であるための十分条件（で必要条件ではない）です。

tknakamuri · Answer

(1) z=0の時 xz=yz→x=y では無いから
(2) (1+2i)+(1-2i)=2、(1+2i)(1-2i)=5

ありものがたり · Answer

P → Q であるとき、
P が成り立つなら、十分、Q が成り立つと言える。　　　　 ； PはQの十分条件
P が成り立つためには、Q が成り立つことが必要である。　； QはPの必要条件
普通の日本語の語感どおりですけど...

springside · Answer

念のためですが、

「P → Q」のとき、PはQであるための十分条件、QはPであるための必要条件

です。

「必要」とか「十分」という日本語に惑わされないようにして下さい。日本語の意味を考えない方がいいです。
矢印（→）の左側が十分条件、右側が必要条件です。
これは、矢印の左側は単なる横棒なので「十」という文字に似ていて、右側は三角形のとんがっている感じが「必」という文字に似ている、と覚えればいいです。

20170130 · Answer

(1)
xz=yz　⇒　x=y　は不成立　反例　x=1,y=2,z=0
x=y　⇒　xz=yz　は成立

(2)
a,bが共に実数　⇒　a+b, ab が共に実数　は成立
a+b, ab が共に実数　⇒　a,b が共に実数　は不成立　反例　a=1+i, b=1-i, a+b=2, ab=2

必要条件 十分条件の問題です (1) xz=yzであることは、x=yが成り立つための必要条件である。