曲率半径について質問です。 円板の曲率半径を考える時、円板の中心の曲率半径が非常に大きくなるのは何故

曲率半径について質問です。

円板の曲率半径を考える時、円板の中心の曲率半径が非常に大きくなるのは何故ですか？
また、球の場合はどうなりますか？

質問者からの補足コメント

• ある問題の解答なんですが、3.3の初めの文のところ
  「円板の中央部分は～非常に大きい」の部分がよく分からなくて最初の質問をしました。
  いろいろ勘違いしてそうなので解説お願いします。
  問題も貼る必要があれば貼りますのでよろしくお願いします。

  
    補足日時：2020/04/30 04:13

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/30 12:33

ああ、物理の話か...

数学では、円板といったら平面上の円の内部のことを指すのですが、
今回は、厚みを持った板の話をしているのですね。それだと、
板の端の形状を正確に記述しないと、曲率の計算はできません。
仮に、高さがとても小さい円柱としてみましょうか。

まず、用語の話として、曲率には曲線の曲率と曲面の曲率があります。
曲線の曲率はひとつの実数ですが、曲面の曲率は二次元量です。
曲面の曲率は、主曲率と呼ばれるふたつの実数か、それから導かれる
全曲率(ガウス曲率),平均曲率などを組み合わせて表示します。
通常、「曲率半径」といったら曲線の曲率の逆数のことを指します。
曲面の曲率半径という言い方は、あまりしません。
写真の文章にある「曲率半径が大きい/小さい」という記述は、
「主曲率が小さい/大きい」という意味で捉えることにしましょう。

円板の中心というか、端に近いところも含む板の両面の平坦部分では、
曲率は平面の曲率と同じですから、主曲率はふたつとも 0 です。
非常に小さいというか、0 なんです。

円板の端については、円柱の側面での主曲率は、
底円の接線方向の 1/a と高さ方向の 0 です。
曲率が非常に大きくなるのは、側面と底面のつなぎ目となる円周上で、
この曲線上では、面が滑らかでないので、曲面の曲率は+∞発散します。
非常に大きいという言い方もできるでしょう。

球の場合は、ふたつの主曲率がともに球の半径の逆数になりますから、
球の半径を「球面の曲率半径」と呼んでも問題はなさそうです。
平面の曲率は、球面の曲率で半径が+∞へ向かうときの極限
と見ることができます。

この回答へのお礼

曲面の曲率というものがあるんですね！
わかりやすい説明ありがとうございました！
とても理解出来ました！

お礼日時：2020/04/30 14:46

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/30 02:45

曲率や曲率半径は、曲線に対して定義されるもんやが、

円板の曲率半径とか円板の中心の曲率半径てのは
いったい何のつもりや？

No.1 回答者： livetolive 回答日時： 2020/04/30 02:14

曲率と曲率半径は直感的に理解できますので、間違って理解しています。

曲率が大きいとは曲がり具合が急ということで、この時曲率半径は小さくなります。
別の表現をすると、円が小さくなるに従い、曲率が大きく、曲率半径が小さくなります。

高速道路では、比較的急なカーブでは曲率半径を表示してスピードを出しすぎないように注意喚起しています。

この回答へのお礼

具体例を出して頂いたのでイメージしやすかったです！ありがとうございます！

お礼日時：2020/04/30 14:47