647＝m^2＋n^2のmとnが存在しないことを証明せよ

647＝m^2＋n^2のmとnが存在しないことを証明せよ

質問者からの補足コメント

• 条件付け加え忘れました
  
  mとnは整数とする

    補足日時：2019/02/11 01:50

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/11 01:53

どうしようかな。

647が大きくて扱いづらいね。
素因数分解するのもメンドな感じだし。

647 が奇数であることから、
m^2 と n^2 は偶奇が異なっていないとならない。
よって m と n も偶奇が異なる。
m = 2x,
n = 2y + 1.　(x,yは整数) と置いて
これを原式へ代入すると、
647 = (2x)^2 + (2y+1)^2 を整理して
2・323 = 4(x^2 + y^2 + y).
右辺は4で割りきれて、左辺は4では割り切れないから、
これを満たす x,y は存在しない。

…思ったより簡単に終わったな。
2乗の絡む不定方程式は、mod(素数)^2 で考えると
うまくいくことが多い。今回は mod4.

この回答へのお礼

お見事です！
回答ありがとうございました！

お礼日時：2019/02/11 02:23