この漸化式を、補足欄に載せた例のやり方で解いてみてください！ お願いします！

この漸化式を、補足欄に載せた例のやり方で解いてみてください！
お願いします！

質問者からの補足コメント

• ごめんなさい、a1=3, a2=7です。

  
    補足日時：2019/02/20 19:40

• こんな風になってしまうのですが、どこが違いますか？

  
    補足日時：2019/02/20 19:51

• すみません、補足のαのとこ、βです
  一部間違ってました

    補足日時：2019/02/20 19:55

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/20 20:28

そうですか...　同じようにやってみます。

a[n+2] = 2a[n+1] + a[n]　　…(1)

x^2 = 2x + 1 の2つの解をα,β(α<β)とおくと、解と係数の関
係から　　α+β = 2,　　αβ = -1
また、(1)から　　a[n+2] - (α+β)a[n+1] + αβa[n] = 0　よって
　　a[n+2]-αa[n+1] = β(a[n]-αa[n]),　a[2]-αa[1] = 7-3α　…(2)
　　a[n+2]-βa[n+1] = α(a[n]-βa[n]),　a[2]-βa[1] = 7-3β　…(3)
(2)から　　　a[n]-αa[n] = (7-3α)β^(n-1)　…(4)
(3)から　　　a[n]-βa[n] = (7-3β)α^(n-1)　…(5)
(4)-(5)から　(β-α)a[n] = (7-3α)β^(n-1) - (7-3β)α^(n-1)　…(6)
ここで、α = 1-√2, β = 1+√2 であるから、β-α = 2√2,
　7-3α = 4+3√2,　7-3β = 4-3√2　…(7)
よって、(6)から　a[n] = (1/2√2){(4+3√2)(1+√2)^(n-1) - (4-3√2)(1-√2)^(n-1)}
= {(2√2+3)/2}(1+√2)^(n-1) - {(2√2-3)/2}(1-√2)^(n-1)

ひょっとして、(7)のあたりで道に迷いました？
写真の例のような変なことをしなくても、普通に
α=1-√2, β=1+√2 を 7-3α, 7-3β へ代入すればいいだけです。

あるいは、写真の例のように指数を n+1 にしたいのなら、
(1+√2)^(n-1) = {(1+√2)^(n+1)}/(1+√2)^2,
(1-√2)^(n-1) = {(1-√2)^(n+1)}/(1-√2)^2
から係数を整理しなおせばよいです。
a[n] = (1/2){(1+√2)^(n+1) + (1-√2)^(n+1)} となります。

この回答へのお礼

おおお！とってもありがとうございました！
はい、7-3αとかでてきて、どうも綺麗にならないような気がして…
突き進んで良かったのですね！
ありがとうございました

お礼日時：2019/02/20 20:42

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/20 20:34

補足２の写真の内容は、最下行に一箇所αとβの書き違いがある

以外には、特に問題ないと思います。その後、どうなったのですか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/20 19:45

その漸化式だと、写真の例と同じように解けて、

面白いことも、哀しいことも、特におこりません。
a[n+2] = 2a[n+1] ー a[n] を
そのやり方で解いてみてください！
初期値は a[1]=3, a[2]=7 でいいです。

この回答へのお礼

違うです！答えがどうしても合わないんです！
途中経過を送って欲しくて…

お礼日時：2019/02/20 19:47