Rの部分集合Aに対し、 f(x)={0(x∈A).1(x∈R\A)} とおく。 A={-1,0,1}

Rの部分集合Aに対し、
f(x)={0(x∈A).1(x∈R\A)} とおく。
A={-1,0,1}の時、fが[-1.1]でリーマン積分可能か。

この問題について、最大リーマン和と最小リーマン和が一致するからリーマン積分可能と証明したいのですが、どのように分割するのが正しいのでしょうか。
[-1,0][0.1]とかで場合分けは必要ですか？

又、Aが有理数全体の集合にかわったときはどのようにリーマン積分不可能を示せば良いのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/02/24 16:56

Rの部分集合Aに対し、

f(x)={0(x∈A).1(x∈R-A)} とおく
A={-1,0,1}の時、
-1≦x≦1の時f(x)≦1だから(最大リーマン和は)
∫[-1,1]f(x)dx≦∫[-1,1]1dx=1-(-1)=2…(1)

-1<x<0の時f(x)=1だから
0<x<1の時f(x)=1だから
2<nを2より大きい自然数とすると
∫[-1+1/n,-1/n]1dx+∫[1/n,1-1/n]1dx≦∫[-1,1]f(x)dx
1-2/n+1-2/n≦∫[-1,1]f(x)dx
2-4/n≦∫[-1,1]f(x)dx
n→∞とすると
lim{n→∞}2-4/n≦∫[-1,1]f(x)dx
2≦∫[-1,1]f(x)dx
↓これ(最小リーマン和)と(1)から
2≦∫[-1,1]f(x)dx≦2
∴
∫[-1,1]f(x)dx=2
リーマン積分可能

Aが有理数全体の集合にかわったときは
最大リーマン和は2
どんなに細かい区間に分割しても
その区間に必ず有理数が含まれる稠密性から
最小リーマン和は0
となるので一致しないから積分不可能