放物線y=x^2の原点から(1,1)までの長さってどうしたら求めれるんでしょうか？ そもそも放物線の

放物線y=x^2の原点から(1,1)までの長さってどうしたら求めれるんでしょうか？

そもそも放物線の長さを求めることってできますか？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2019/02/27 00:02

曲線に沿った長さ（「道のり」とも言います）は、おおざっぱに言えば、「テキトーな刻みで折れ線で近似して道のりを測り、その刻みを細かくしていった極限」として定義されるんです。

直交座標で点(x, y(x)) と 点(x+Δx, y(x+Δx))を結ぶ線分の長さをΔsとすると、ピタゴラスの定理を使って
　　Δs/Δx = (1/Δx) √( (Δx)^2 + (y(x+Δx)-y(x))^2 )
そして
　　Δx→0のとき　Δs/Δx → ds/dx = √( 1 +(dy/dx)^2 )
というわけで、ご質問の場合
　　L = ∫ {0〜1} (√(1 + (dy/dx)^2) ) dx
　　= ∫ {0～1} (√(1 + (2x)^2) ) dx
この計算は
　　2x = tanθ
と変数変換すればナントカなるな。

No.2 回答者： xs200 回答日時： 2019/02/27 00:22

「曲線の長さの公式」があります

https://mathtrain.jp/kotyo

t=2x+√(1+4x^2)
とすれば簡単に解けます

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/27 12:23

高校の理系数学で習う微分積分の知識が必要です。

知識があれば曲線の長さがもとめられます。
曲線y=f(x)のx=a～x=bまでの長さは
L=∫√(1+{f'(x)}²)dx （積分区間a～b）です。
よって質問の長さなら
f'(x)=2xだから
求めるべき長さL=∫√(1+4x²)dx（積分区間0～1）
です。ただこの先の積分も楽であはりません。
以下いくつかやり方がありますが、2x=tanθ　とおいて置換積分するのが最も思いつきやすい方法だと思います。ご自分で積分計算をやってみてください！