数学 複素数 応用です 教えてください！ (4)のⅱです

数学 複素数 応用です
教えてください！
(4)のⅱです

質問者からの補足コメント

• やってます！

  
    補足日時：2019/03/06 23:39

• 見えにくいと思うのでアップで。

  
    補足日時：2019/03/06 23:40

• お願いします

  
    補足日時：2019/03/06 23:41

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/03/07 23:58

解の公式を使ってゴリ押ししなくても

共通解をなんとかとおくと～
という「よくあるパターン」でいいような気がするなぁ....

もちろん解ければ正義だけど.

No.7 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/03/07 21:43

ANo.1/2です。

>f(x) = 0, g(x) = 0 が共通解を持つ可能性
>はないんでしょうか＞#2.

すみません、ご指摘の通り3つ全てが実数解かつ1つが共通解である可能性を失念していました。
自分なりに再計算しましたところ、他の方の回答と同じくp=-1/8になりました。

f(x)=x^2 - 2(2p-1)x + 1=0
x=(2p-1)±2√(p^2 - p)

g(x)=x^2 - 2px + p=0
x=p±√(p^2 - p)

4つの組み合わせで共通解を考えると、

(C1) x=(2p-1)+2√(p^2 - p)とx=p+√(p^2 - p)が共通解の場合
(2p-1)+2√(p^2 - p)=p+√(p^2 - p)
p-1=-√(p^2 - p)
p-1<0よりp<1
(p-1)^2=p^2 - p
p^2 - 2p + 1=p^2 - p
p=1
これはp<1を満たさないため不適。

(C2) x=(2p-1)-2√(p^2 - p)とx=p-√(p^2 - p)が共通解の場合
(2p-1)-2√(p^2 - p)=p-√(p^2 - p)
p-1=√(p^2 - p)
p-1>0よりp>1
(p-1)^2=p^2 - p
p^2 - 2p + 1=p^2 - p
p=1
これはp>1を満たさないため不適。

(C3) x=(2p-1)+2√(p^2 - p)とx=p-√(p^2 - p)が共通解の場合
(2p-1)+2√(p^2 - p)=p-√(p^2 - p)
p-1=-3√(p^2 - p)
p-1<0よりp<1
(p-1)^2=9(p^2 - p)
p^2 - 2p + 1=9p^2 - 9p
8p^2 - 7p - 1=0
(8p+1)(p-1)=0
p=1, p=-1/8

p=1はp<1を満たさないため不適。
p=-1/8はp<1を満たす。
共通解はx=-1/2

(C4) x=(2p-1)-2√(p^2 - p)とx=p+√(p^2 - p)が共通解の場合
(2p-1)-2√(p^2 - p)=p+√(p^2 - p)
p-1=3√(p^2 - p)
p-1>0よりp>1
(p-1)^2=9(p^2 - p)
p^2 - 2p + 1=9p^2 - 9p
8p^2 - 7p - 1=0
(8p+1)(p-1)=0
p=1, p=-1/8
p=1, p=-1/8ともp>1を満たさないため不適。

以上より、3つの解を持つpは、p=-1/8

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/07 09:29

No.4 は、係数の計算量が多くて

やはり答えまでたどり着けなかった。
wolfram とかあれば別だけど、
テスト中にはね。

No.2 で吟味している部分は、
α=β ⇔ 2α-1=2β-1
と言うだけで済む。解が高々 2個で不適。

α=2α-1 の場合は、
g(x)=0 の解係数から β+1=2p,β・1=p.
これを満たす β,p は (β,p) = (1,1).
g(x)=x^2-2x+1,
f(x)=x^2-2x+1 となるから、
f(x)g(x)=0 の解は x=1 の 1個であり、不適。

α=2β-1 の場合は、
g(x)=0 の解係数から β+(2β-1)=2p,β(2β-1)=p.
これを満たす β,p は (β,p) = (1,1), (1/4,-1/8).

p = 1 は上記のように不適。

p = -1/8 のときは
g(x)=0 ⇔ x=1/4,-1/2.
f(x)=0 ⇔ x=-1/2,-2 で解は 3個。適する。

ほんとだ。やってみると No.3 の場合分けが
思ったほどガチャガチャせず、簡明。

No.5 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2019/03/07 03:19

NO.3の言うように共通解を持つかどうかを確かめるなら、2α-1=αと2β-1=αを調べるだけで大体良いと思う。

前者は不適で、後者は
α,β=p±√(p^-p)として計算すれば
p=-1/8になると思う。暗算だし合ってるかは分からんけど、一応条件にはあってそう。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/07 02:55

F(x) = f(x)g(x) と置いて

F(x) と F'(x) の最大公約式を求めてしまえばいいんちゃう？
F'(x) が 3次式なので、F(x) を F'(x) で割った余りは 2次以下だが、
その 2次項が消えてれば、最大公約式は 1次以下だし、
消えてなければ、その余りで F'(x) を割った余りが 1次以下になる。
つまり、F(x) = F'(x) = 0 の共通解すなわち F(x) の重根は
高々 1個しかないことが判る。重根を持つ条件も p の方程式で出る。
いや、やってみたら、計算がエグかったんだけどさ。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/03/07 01:35

確認してませんが

f(x) = 0, g(x) = 0 が共通解を持つ可能性
はないんでしょうか＞#2.

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/03/07 00:37

ANo.1です。

4次方程式 f(x)g(x)=0 が異なる3つの解を持つ可能性は、以下2通りになります。

(A) 全て実数解で、うち1つが重解
(B) 重解が1つ、複素数解が2つ

(A), (B)についてさらに場合分けします。

(A)-1：f(x)が重解で、g(x)が異なる2つの実数解を持つ場合
f(x)=x^2 - 2(2p-1)x + 1=0
g(x)=x^2 - 2px + p=0
g(x)は(2)の解答そのものなので、p<0, p>1
f(x)は重解なので、
4(2p-1)^2 - 4=0
16p^2 - 16p=0
16p(p-1)=0
p=0, 1
上記より、条件を満たすpは存在しないため不適。

(A)-2：g(x)が重解で、f(x)が異なる2つの実数解を持つ場合
g(x)は重解なので、p=0, 1
f(x)は実数解なので、p<0, p>1
上記より、f(x),g(x)の両方が実数解をとるpは存在しないため不適。

(B)-1：f(x)が重解で、g(x)が異なる2つの複素数解を持つ場合
f(x)は重解なので、p=0, 1
g(x)は複素数解なので、0<p<1
上記より、条件を満たすpは存在しないため不適。

(B)-2：g(x)が重解で、f(x)が異なる2つの複素数解を持つ場合
g(x)は重解なので、p=0, 1
f(x)は複素数解なので、0<p<1
上記より、条件を満たすpは存在しないため不適。

以上より、異なる3つの解をもつpは存在しない。（解なし）

何回か検算しましたが、同じ結果になりました。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/03/06 23:24

(4)-(ii)を解くには(1)から(4)-(i)全てを解かないといけません。

そこまでやる気はないので、ご自身で(1)から(4)-(i)の解答を提示してから、再度分からないところを質問して下さい。