三接線で 規定された、円の 直径は？

お世話になります。


添付図の　ような、
状態で、

三接線により、
位置、形状、等が、
規定された　円において、
直径Lを　求めたいのですが、

如何すれば　判りますか？

質問者からの補足コメント

• 別掲載図

  
    補足日時：2019/03/12 22:35

• 私の　間違いかも
  知れませんが、
  
  2((L/tan(θ2)-(J/tan(θ1)+K-I)/(tan(θ1/2)-tan(θ2/2))
  て、
  マイナスに　成りませんか？

    補足日時：2019/03/12 23:50

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2019/03/11 12:33

まず準備。

平行でない2本の直線L,Mの交点X(L,M)の周りには4つの角ができて、これらの角の二等分線は2本存在し、互いに直交しています。それらをP(L,M), Q(L,M)とします。すると、【2本の直線L, Mの両方に接する円はどれでも、P(L,M)あるいはQ(L,M)の上に中心があります】。（証明は簡単でしょう。）

というわけで、ご質問の問題。
互いに平行でない3本の直線A,B,Cについて、P(A,B), Q(A,B), P(B,C), Q(B,C)という4本の直線はX(A,B), X(B,C)以外に4点で交わります。これら4点が、お求めの円の中心です(添付図)。中心がわかればあとは簡単ですね。

この回答へのお礼

はぁ…　…
ご厚意には　感謝します。

お礼日時：2019/03/11 15:04

No.5 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2019/03/11 10:26

接線の交点の二等分角線上に中心はあるので、接線３つの交点である３点のうち２点で２等分角線を引いて、その交点が中心になるので、あとは中心と接線の距離を求めて２倍すれば直径は求められます。

この回答へのお礼

有難うございます。


しかし、
円の、
位置や、サイズは、
任意、未確定、

ならば、
2点だけでは、
形状特定が　不能なのでは？


どうやって　2点で、
正接点を　求めるのですか？

お礼日時：2019/03/11 12:24

No.4 回答者： メモめも 回答日時： 2019/03/11 05:07

円を通る３点の座標 から

円の中点の座標 と
半径 をもとめる
(↓コレよりもっといい方法があると思うけどﾜｶﾗﾅｰｲ)

この回答へのお礼

有難うございます。


ですが、
中間を　端折り過ぎ…、
なのでしょうか？

論理展開も、証明過程も、証明正当性も、
私では　判りません。


少なくとも、
二正接線で　円が、
規定可能と　しておられるならば、

今回は、
任意位置での　正接ですので、
其れは　間違いですよね？

ユーグリット面での　単純図形の、
位置の　規定には、
少なくとも、
3点は　必要ですよね？

違いました？


あと、出来れば、
符号を　変えずに、
回答　頂く事は、
可能でしょうか？

我が儘ばかり　申し立て、
申し訳ない。

お礼日時：2019/03/11 08:29

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/11 03:32

計算のほうも書いておこう。

3直線 (a1)x+(b1)y+(c1)=0,
(a2)x+(b2)y+(c2)=0,
(a3)x+(b3)y+(c3)=0 に、
円 (x-p)^2+(y^q)^2=r^2 が
接しているとすれば、
円の中心と各直線との距離に関して
r = |(a1)p+(b1)q+(c1)|/√{(a1)^2+(b1)^2}
= |(a2)p+(b2)q+(c2)|/√{(a2)^2+(b2)^2}
= |(a3)p+(b3)q+(c3)|/√{(a1)^2+(b1)^2}.
が成り立つ。

あらかじめ各直線 (ai)x+(bi)y+(ci)=0 の
両辺を √{(ai)^2+(bi)^2} で割って
(αi)x+(βi)y+(γi)=0 に変形してあれば、
後半の式は r = |(α1)p+(β1)q+(γ1)|
= |(α2)p+(β2)q+(γ2)|
= |(α3)p+(β3)q+(γ3)| で済む。

絶対値を外して 2^3 通りの連立方程式を作り、
それぞれを p,q,r の連立一次方程式として解けば、
No.2 に書いた4つの円が(もちろん半径も含めて)求まる。

この回答へのお礼

有難うございます。

お礼日時：2019/03/11 08:20

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/11 02:52

一般の位置にある３直線は、平面を７個の領域に分割します。

７個のうち有界なものは1個だけで、それは三角形をなします。
７個の領域のうち３直線に接する円が存在するのは、
三角形と、三角形に辺で接する３個の領域であり、三角形と
頂点で接する残り３個の領域にはそのような円はありません。
要するに、３直線が作る三角形を見つけて、その三角形の
内心と３個の傍心を描けば、それが全てです。
内心は、三角形の３つの内角の２等分線の共通の交点。
傍心は、三角形の１つの内角と２つの外角の２等分線の共通の交点です。

この回答へのお礼

有難うございます。

お礼日時：2019/03/11 08:20

No.1 回答者： ひさっぴぃ 回答日時： 2019/03/11 02:35

こんにちは。

図を見ての直感での回答です。
頭が働いていないので
実際に解けるかどうかの検証までは行ってない点をご了承ください。

円に接する直線は、円の中心と接点を結ぶ直線に対して
垂直に交わる性質があったかと思いますので、
接線の式（ｙ＝ａｘ＋ｂ）を導き出すことができれば
それぞれの接線に対して垂直に交わる式
（ｙ＝１／ａ　ｘ＋ｃ・・・でしたっけ）
を求めてできる三接線に対する３つの垂線の方程式を解けば
３つの交点となるのが円の中心の座標となりそうなので
あとは任意の接点と中心との距離で
直径Ｌが計算できるのではないでしょうか。

図からすると、接線の傾きという最初の部分から難航しそうですが、
実は計算に手間取るだけで、
解くこと自体は比較的簡単なのじゃないかと思っている
直感での回答でした。
手掛かりくらいにはなりますでしょうか。

この回答へのお礼

有難うございます。

成る程、
確かに、
正接線の　接触点には、
当該線に対する　垂線が、
引けますが、

ですが、では、
ならばこそも、

正接点を　求めるのは、
どの様な式を　求めるべきでしょうか？

お教えください。

お礼日時：2019/03/11 08:19