No.2ベストアンサー
- 回答日時:
cosθ+isinθっていうのは複素数の回転に対応する演算子ですから(θラジアン回転)
それをn乗,つまりn回回転操作をおこなえば
θ×nでnθ回転します
なのでcosnθ+isinnθと証明されます
幾何学的な証明だとこれしか思いつきませんね...
No.1
- 回答日時:
{cos(a) + i・sin(a)}{cos(b) + i・sin(b)} = cos(a+b) + i・sin(a+b)
は角度の加法定理を用いれば直ちに導けます。
つまり、複素数の掛け算は偏角の足し算だから
{cos(a) + i・sin(a)}^n
= {cos(a) + i・sin(a)}{cos(a) + i・sin(a)}・・・・{cos(a) + i・sin(a)} (n回の掛け合わせ)
= {cos(a) + i・sin(a)}{cos(a) + i・sin(a)}^(n-1)
={cos(2a) + i・sin(2a)}{cos(a) + i・sin(a)}^(n-2)
={cos(3a) + i・sin(3a)}{cos(a) + i・sin(a)}^(n-3)
・
・
={cos(na) + i・sin(na)}{cos(a) + i・sin(a)}^(0)
=cos(na) + i・sin(na)
つまり a を n回足すと na のなるということと同等。
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