質問です。 Zを正の整数として、点電荷Zeによる静電ポテンシャルφ(r)=1/(4πεo)Ze/rに

質問です。
Zを正の整数として、点電荷Zeによる静電ポテンシャルφ(r)=1/(4πεo)Ze/rによって束縛された電子のエネルギー準位を前期量子論の考え方に基づいて考察する。ただし、rは点電荷Zeの位置の中心とする動径座標、eは電気素量、εoは真空の誘電率とし、電子の質量をmとする。
電子は等速円運動をしているものとする。軌道半径をr、角運動量をωとしてエネルギーEと角運動量Lをそれぞれ求めよ。
古典的運動方程式、および量子化条件L=n ħ(n=1,2,...)を用いて電子のエネルギー準位を求めると以下の形に書くことができる。
En=E1/n^2 (n=1,2,...)
E1の具体的な表式を求め、Zの何乗に比例するか答えなさい。
お願いします。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2019/04/23 10:44

条件より電子が点電荷Zeから受ける力のポテンシャルは、

－ｅφ(r)=－kZe²/ｒ　k＝1/(4πεo)
したがって電子の全エネルギーは電子の速さをvとすれば
E=(1/2)mv²－kZe²/ｒ　になる。
ここで、電子が受ける力のポテンシャルからその力は　－kZe²/ｒ²で
つまり点電荷Zeから大きさkZe²/ｒ²の引力を受けているので
円運動の条件から運動方程式は
mv²/ｒ＝kZe²/ｒ²、これからmv²＝kZe²/ｒこれを上のEの式に入れて
E=(－1/2)kZe²/ｒ・・・①
また円運動の場合角運動量Lは、
L=ｒｍｖで、ｖ＝ｒωから、L=ｍｒ²ω・・・②

つぎに運動方程式は
ｍｒω²＝kZe²/ｒ²　とも書けるから、これからｍｒ³ω²＝kZe²
②の両辺2乗してL²＝ｍ²ｒ⁴ω²、この2式から(kZe²)/L²＝1/(ｍｒ)
(kｍZe²)/L²＝1/ｒ、これを①にいれて
E=(－1/2)kZe²×(kｍZe²)/L²=(－1/2)ｋ²ｍZ²e⁴/L²
ここでL=n ħとすれば
E=(－1/2)ｋ²ｍZ²e⁴/ħ²(1/ｎ²)＝－(ｍZ²e⁴/32π²εo²ħ²)/ｎ²
これをEn=E1/n²　と書けば
E1＝－(ｍZ²e⁴/32π²εo²ħ²)　でZ²に比例する。