なぜsin^3θの微分は(3sin^2θ)(cosθ)とできるのにsin^3θの積分は(sin^4θ

なぜsin^3θの微分は(3sin^2θ)(cosθ)とできるのにsin^3θの積分は(sin^4θ)(-cosθ)/4とできないのですか？

No.5 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/04/27 00:19

No.4ですが、少しだけ、式を書き違えた、(F(θ)をIとした)ので書き直した。

なぜsin^3θの微分は(3sin^2θ)(cosθ)とできるのにsin^3θの積分は(sin^4θ)(-cosθ)/4とできないのですか？>


sin^3θの微分は(3sin^2θ)(cosθ)とできるのは、あなたが「関数の関数の微分法」を知っていて
y=sin³θでt= sinθと置くと、y=t³となり、
dy/dθ= dy/dt･dt/dθ=3t²･cosθ=3sin²θcosθとなるからです。
sin^3θの積分は(sin^4θ)(-cosθ)/4とできないのは、あなたが「置換積分」を知らないのか、それを使わないからです。
F(θ)=∫sin³θdθの積分を実行するには、t= cosθと置くと、
sin²θ=1－cos²θ= 1－t²，－sin²θ= t²－1
dt/dθ=－sinθとなり、dt=－sinθdθとすることができる。これを使うと、
F(θ)=∫sin³θdθ=∫(－sin²θ) (－sinθ)dθ=∫(t²－1) dtとなる。このtの積分は容易にできて
F(θ)=∫(t²－1) dt=t³/3－t+C= cos³θ/3－cosθ+C　Cは積分定数である。これが答えである。
検算のためにF(θ)を微分すると
F '(θ)=( 3cos²θ/3)×(－sinθ) + sinθ=( cos²θ)×(－sinθ) + sinθ
=( 1－sin²θ)×(－sinθ) + sinθ=sin³θ　となる。
この置換積分は、t= cosθと置いたから成功したが、どのように置けば成功するかは非常にむつかしい。
普通は、できない場合が多い。試験問題に出るのは、成功するものばかり選んで出題されているので、どのように置換すれば成功するかを探さなければならない。成功例のテクニクをあらかじめ知っておくのが最善の対策である。

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/04/26 20:03

なぜsin^3θの微分は(3sin^2θ)(cosθ)とできるのにsin^3θの積分は(sin^4θ)(-cosθ)/4とできないのですか？>

sin^3θの微分は(3sin^2θ)(cosθ)とできるのは、あなたが「関数の関数の微分法」を知っていて
y=sin³θでt= sinθと置くと、y=t³となり、
dy/dθ= dy/dt･dt/dθ=3t²･cosθ=3sin²θcosθとなるからです。
sin^3θの積分は(sin^4θ)(-cosθ)/4とできないのは、あなたが「置換積分」を知らないのか、それを使わないからです。
F(θ)=∫sin³θdθの積分を実行するには、t= cosθと置くと、
sin²θ=1－cos²θ= 1－t²
dt/dθ=－sinθとなり、dt=－sinθdθとすることができる。これを使うと、
Ｉ=∫sin³θdθ=∫(－sin²θ) (－sinθ)dθ=∫(t²－1) dtとなる。このtの積分は容易にできて
F(θ)=∫(t²－1) dt=t³/3－t+C= cos³θ/3－cosθ+C　Cは積分定数である。これが答えである。
検算のためにF(θ)を微分すると
F '(θ)=( 3cos²θ/3)×(－sinθ) + sinθ=( cos²θ)×(－sinθ) + sinθ
=( 1－sin²θ)×(－sinθ) + sinθ=sin³θ　となる。
この置換積分は、t= cosθと置いたから成功したが、どのように置けば成功するかは非常にむつかしい。
普通は、できない場合が多い。試験問題に出るのは、成功するものばかり選んで出題されているので、どのように置換すれば成功するかを探さなければならない。成功例のテクニクをあらかじめ知っておくのが最善の対策である。

No.3 回答者： koji25 回答日時： 2019/04/22 16:03

なぜですか?って言われるとちょっと苦ですが

まぁ微分してみたらわかります(積分した式を)

No.2 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/04/21 21:54

＞なぜin^3θの積分は(sin^4θ)(-cosθ)/4とできないのですか？

(sin^4θ)(-cosθ)/4を微分してもsin^3θにならないから
では？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/21 21:31

なぜ (d/dθ)(sin^3 θ) = (3sin^2 θ)(cosθ) になるかは、

合成関数の微分公式 dz/dx = (dz/dy)(dy/dx) で説明できます。
z = sin^3 θ, y = sinθ, x = θ に適用すると、
z = y^3 から dz/dy = 3y^2, dy/dθ = cosθ なので
dｚ/dθ = (3ｙ^2 θ)(cosθ) になるからです。

一方、なぜ ∫(sin^3 θ)dθ = (sin^4 θ)(-cosθ)/4 ではないかというと、
そういうことって説明のしようがないですねえ。
あなたが、なぜ、そんな式がなりたつと思ったのかを書いてくれれば、
その考えのどこが間違っているかは説明できるでしょうけど。

結果的に成立しないことは、以下のように示せます。
もしそれが成立するとしたら、微分して
sin^3 θ = (4sin^3 θ)(cosθ)(-cosθ)/4 + (sin^4 θ)(sinθ)/4
も成り立つはずですが、θ = π/4 を代入すると
左辺 = 1/2√2、右辺 = -3/16√2 で一致していません。