ε-N論法による数列の有界の証明。 命題｢収束する数列{an}は有界である｣を証明せよ。 この問題の

ε-N論法による数列の有界の証明。

命題｢収束する数列{an}は有界である｣を証明せよ。

この問題の解答の最後のK=max(…｜an｜,…,｜α｜＋ε0)と書いてありますが、a1,a2やαに絶対値がついている理由が分かりません。図に書いて説明してくれませんか？

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/04/21 23:57

有界というのは上にも下にも有界ということです。

上に有界、下に有界を同時に証明するには絶対値が上に有界であることを示せば一発です。
|a(n)|≦Kであれば-K≦a(n)≦Kは明らかですね。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/21 22:33

図？

「ある K>0 があって、|a_n|≦K がすべての n に対して成り立つこと」
を示そうというのですよね。 この |a_n|≦K 式中の絶対値記号が
質問の絶対値記号に受け継がれているのです。

lim[n→∞]a_n = αより、ある番号 N があって n>N の範囲では
|a_n - α| < ε より |a_n| < |α|+ε がなりたつのでした。

K ≧ |α|+εであれば n>N のとき |a_n| ≦ K が成り立つので、
更に n≦N でも |a_n| ≦ K であればすべての n で |a_n| ≦ K です。
K ≧ |α|+ε,
K ≧ |a_1|,
K ≧ |a_2|,
…
K ≧ |a_N|.
であればよいわけです。そこで、
K = max{ |α|+ε, |a_1|, |a_2|, …, |a_N| } とすれば十分と判ります。