![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?8acaa2e)
画像のように、
非正規形の微分方程式が特異解をもつ場合の議論に関して、
f(x,y,y`,y``,,,,y^(n))=0(非正規形)において、
fはn+2変数x,y,y`,y``,,,,y^(n)について偏微分可能かつその偏導関数が連続とする。
ある点(x,y,y`,y``,,,,y^(n))=(x0,yo,,,)においてf=0および∂f/∂y^(n)≠0とする。
このとき、陰関数定理により、(x0,yo,,,)の近傍でy(n)に関して滑らかにとけるから
ある偏微分可能な関数Fを用いてy(n)=F(x,y,y`,y``,,,,y^(n-1))と正規形で表せる。
とあるのですが、
(疑問)
①滑らかに解けるとはどういうことなのでしょうか?
また、Fは偏微分可能とはy^(n)以外のn+1変数においてですか?
②2変数の場合の陰関数定理では、諸々の条件はありますが、
f(x,y)=0においてfがC^m級ならばy=F(x)と解いたFに関してC^m級となります。
これが一般のn変数に拡張しても成り立つのですか?
![「非正規形の微分方程式」の質問画像](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/6/542288580_5cc004e390843/M.jpg)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
陰関数定理は、微分方程式そのものとは別の話です。
未知数 n+2 個の方程式 f(x,y,z1,z2,…,zn)=0 について
(x,y,z1,z2,…,zn)=(x0,y0,…) のとき f=0 かつ ∂f/∂zn≠0 が成り立つならば、
(x,y,z1,z2,…,zn)=(x0,y0,…) の近傍で f(x,y,z1,z2,…,zn)=0 は
zn = F(x,y,z1,z2,…,z[n-1]) と変形できます。これが、陰関数定理です。
f が Cm 級なら、F も Cm 級です。
「滑らかにとける」というのは、このことを言っているのだと思います。
以上の話に (x,y,z1,z2,…,zn)=(x,y,y',y'',…,y^(n)) を代入すると、
n階微分方程式 f(x,y,y',y'',…,y^(n))=0 が y^(n) = F(x,y,y',y'',…,y^(n-1)) に
変形できるという話になります。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 常微分方程式論と偏微分方程式論 2 2022/04/03 22:35
- 物理学 量子力学 球面調和関数 導出 方位角成分 微分方程式の解 2 2022/07/02 13:40
- 数学 数学微分方程式の問題です。次に書く問題を教えて欲しいです。質量mの物体が自然長l、ばね定数kのバネで 1 2022/04/29 21:23
- 数学 dx(t)/dt =rx(t){1-(x(t)/K)} r,Kは正の定数とすると、この微分方程式はラ 1 2022/08/11 16:25
- 数学 数学の偏微分の問題です。 1変数の微分でも怪しいのですが、 f(x,y)=√(x-y^2/(2x^3 2 2022/12/09 11:01
- 数学 『Cの微分.2』 3 2023/02/15 19:47
- 数学 数学微分方程式の問題です。次に書く問題を教えて欲しいです。上端を固定された長さlの棒の先に質量mの質 2 2022/04/29 21:27
- 数学 複素関数と実関数のテーラー展開の違いについて 1 2022/08/09 06:18
- 数学 凹関数について 1 2022/11/07 22:07
- 数学 多変数関数の微分とテイラー展開について 5 2022/04/24 16:55
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
ファルコンの定理は解かれまし...
-
直角三角形じゃないのに三平方...
-
至上最難問の数学がとけた
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
相似比の答え方・・・
-
【線形代数】基底、dimVの求め方
-
フーリエの積分定理がわかりません
-
トポロジーの問題での質問・・...
-
複素関数f(z)=1/(z^4)+1に対し...
-
det(AB)=det(A)+det(B)
-
AとBはn次正方行列とする。 積A...
-
フェルマーの最終定理を簡単に...
-
べき剰余の問題
-
拡張ユークリッド互除法による...
-
ガウスの定理とストークスの定理
-
完全数はどうして「完全」と名...
-
パップスギュルダンの定理について
-
lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
-
ピタゴラス数となる組み合わせ...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
ファルコンの定理は解かれまし...
-
至上最難問の数学がとけた
-
lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
-
AとBはn次正方行列とする。 積A...
-
これは証明になってる
-
中国剰余式定理(一般形)の証明...
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
直角三角形じゃないのに三平方...
-
パップスギュルダンの定理について
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
定理と法則の違い
-
【線形代数】基底、dimVの求め方
-
奇数次の代数方程式
-
完全数はどうして「完全」と名...
-
二次合同式の解き方
-
オイラーの多面体定理の拡張
-
量子化定理とは?
-
A,Bの異なる2つの箱に異なる1...
-
11・13y≡5(mod9)がy≡4(mod9)にな...
-
11の22乗を13で割った余り...
おすすめ情報