Σk(k-1)について

Σk(k -1)でk =1、k をnまで加算せよです。
公式であるΣk^2とΣkを使わずに解く方法があるそうです。分かる方教えてください

No.4 ベストアンサー 回答者： takoハ 回答日時： 2019/05/07 15:58

k(kー1)=k〔2〕 ……差分 より

差分の定義は、微分の導関数において、h=1 とおいた関数で、
和分は、差分の逆関数である。 なお、微積分と混同し易いので、微積分を完全に理解している人のみ 学んでも良いでしょう！

不定和分から和分定数を求める方法か
a x=x(xー1)とおけば、故に
a xの不定和分は、
F(x)=∫ a x+1 ⊿x=∫ (x+1)x ⊿x=∫ (x+1)〔2〕⊿x ………(1)
=(x+1)〔2+1〕/(2+1) +C ………(2)
=(x+1)〔3〕/3=(x+1)x(xー1)/3 +C
x=1の時 F(1)=1・(1-1)=0 ,また、右辺=C ∴C=0
よって、
1・0+2・1+3・2+……+n(nー1)=(n+1)n(nー1)/3

または、 1…nまでの定和分を求めましょう！
Σ k;1…n k〔2〕=［⊿-1 k〔2〕］n+1→1 =［(1/3)・k〔3〕］n+1→1
=［(1/3)・k(kー1)(kー2)］n+1→1
=(1/3)｛ (n+1)n(nー1) ー1・0・(-1)］
=(n+1)n(nー1)/3

なお、
(1)→(2)のところで、
k(kー1)=k〔2〕であり、この和分が、
k〔2+1〕/(2+1) ……(3)となっているが、
(3)を 高校生流にやれば 、教科書に書いてある部分分数分解のような形になる！つまり、
n〔3〕/3=(n+1)n(nー1)/3 だから

Σk;1…n k(kー1)=(1/3)｛Σk;1…n (k+1)k(kー1)ーΣk;1…n k(kー1)(kー2)｝
=(n+1)n(nー1)/3

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます

お礼日時：2019/05/07 21:00

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/05/07 13:52

＃２訂正

=(1/3)[(0-0)+(1x2x3-0)+(2x3x4-1x2x3)+(3x4x5-2x3x4)
＝(1/3){(-0)+(n-1)n(n+1)}
=(1/3)(n-1)n(n+1)

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/05/07 13:49

k(k-1)=(1/3)・{(k-1)k(k+1)-(k-2)(k-1)k}より

Σ[K=1～n]k(k-1)=(1/3)Σ[K=1～n]{(k-1)k(k+1)-(k-2)(k-1)k}
=(1/3)[(0-0)+(1x2x3-0)+(2x3x4-1x2x3)+(3x4x5-2x3x4)・・・+{(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n}]
=(1/3){(-1x2x3)+(n-1)n(n+1)}
=後はもう少し整理するだけ！＾－＾