対称・反対称な波動関数

２つの同種粒子からなる系の波動関数は
ﾎﾞｿﾝ：ψ=φA(r1)φB(r2)+φA(r2)φB(r1)
ﾌｪﾙﾐｵﾝ：ψ=φA(r1)φB(r2)-φA(r2)φB(r1)　と教わりました。しかし、これらの関数は一般的には系のエネルギーを与える固有関数にはなりません*。なのに、何故、これらの関数を系の波動関数と呼ぶのでしょうか？事情をご存知の方、教えてください。
*例：位置rAに原子核がある基底状態の水素原子の中の電子1
ﾊﾐﾙﾄﾆｱﾝH1=(p1^2/2m)-(e^2/4πε0❘r1-rA❘),
波動関数φA(r1),ｴﾈﾙｷﾞｰEA
位置rBに原子核がある基底状態のﾍﾘｳﾑｲｵﾝHe+の中の電子2
ﾊﾐﾙﾄﾆｱﾝH2=(p2^2/2m)-(2e^2/4πε0❘r2-rB❘),
波動関数φB(r2),ｴﾈﾙｷﾞｰEB
からなる系を考えてください。(rAとrBは十分離れているとします。)
残念ながらφA(r2)はH2の固有関数にはなれず、φB(r1)もH1の固有関数にはなれません。(計算してみて下さい。すぐ、分かります。)
ですから、ψ=φA(r1)φB(r2)-φA(r2)φB(r1)もH1+H2の固有関数にはなれませんし、系のｴﾈﾙｷﾞｰEA+EBを導くことはできません。

質問者からの補足コメント

• 申し訳ありません。質問が言葉足らずだったようです。
  ２つの電子の相互作用が無視でき、H1φA(r1)=EAφA(r1), H2φB(r2)=EBφB(r2)が成り立つ場合、
  ハートリー積 φA(r1)φB(r2) はH1+H2の固有関数になり固有値は EA+EB になりますが、
  φA(r2)φB(r1) はH1+H2の固有関数になれず、ψ=φA(r1)φB(r2) -φA(r2)φB(r1) もH1+H2の固有関数になれません。ハートリー積 φA(r1)φB(r2)を系の波動関数とせず、固有関数にならないψを波動関数とする理由は何か教えてください。

    補足日時：2019/05/23 20:27

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2019/05/17 00:17

お書きになっている例が正しくないのはそもそもH_1+H_2が系全体のハミルトニアンになっていないからです。

ポテンシャルの項は
V_A(r)=-e^2/4πε|r-r_A|
V_B(r)=-2e^2/4πε|r-r_B|
としたとき、V(r)=V_A(r)+V_B(r)としなければいけません。
つまり、H_1=p1^2/2m+V_A(r1)+V_B(r2)となります。

「Ｈ原子の近くにいる方の電子が１番」などと決めているように見えますが、電子は区別できないのでそのような事はできません。

この回答へのお礼

eatern27 様。ご回答ありがとうございます。H_1=p1^2/2m+V_A(r1)+V_B(r2)ということですが、H_1+H_2はどう記述されるのでしょうか？それから、ψ=φA(r1)φB(r2)-φA(r2)φB(r1)は、そのハミルトニアンの固有関数になるのでしょうか？

お礼日時：2019/05/23 20:35