微分方程式、y´´+2y´+2y=10cos2xについて初期条件y(0)=0 y´(0)=2を満たす

微分方程式、y´´+2y´+2y=10cos2xについて初期条件y(0)=0 y´(0)=2を満たすとき特殊解を求めよ
という問題が分かりません。解説お願いします

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/18 21:34

非斉次線型微分方程式を解くときは、まず特殊解を1個見つけましょう。

そこは、山勘です。
この方程式の場合 y = Asin(2x) + Bcos(2x) で行けそうだな、という勘は持っていてください。
代入すると y'' + 2y' + 2y = -4(A+3B)sin(2x) + 4(3A-B)cos(2x) なので、
A+3B=0, 4(3A-B)=10 すなわち A = 3/4, B = -1/4 なら十分です。
これで、特殊解 y = y0 = (3/4)sin(2x) - (1/4)cos(2x) が見つかったことになります。

y = y0 + z と置けば、方程式は z'' + 2z' + 2z = 0 と書き換えられます。
z の方程式は斉次線型微分方程式なので、型通り、
特性方程式 λ^2 + 2λ + 2 = 0 を解いて λ = -1 ± i より、
z = (C1)e^((-1+i)x) + (C2)e^((-1-i)x) = (e^-1){ (C3)sin(x) + (C4)cos(x) }
(C1,C2,C3,C4は定数) が一般解です。

y = (3/4)sin(2x) - (1/4)cos(2x) + (e^-x){ (C3)sin(x) + (C4)cos(x) } に初期条件を代入して、
y(0) = -1/4 + C4 = 0, y’(0) = C3 - C4 + 3/2 = 2 より C3 = 3/4, C4 = 1/4.
答えは、y = (3/4)sin(2x) - (1/4)cos(2x) + (3/4)(e^-x)sin(x) + (1/4)(e^-x)cos(x).

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/06/18 23:48

まず、与式y''(x)+2y'(x)+2y(x)=10cos2xの同次方程式を求めます。

同次方程式y''(x)+2y'(x)+2y(x)=0の特性方程式は、

r^2 + 2r + 2=0
r=-1±i

よって同次方程式の一般解は
y(x)=(C1sinx+C2cosx)e^(-x) （C1,C2：実数）

次に、与式y''(x)+2y'(x)+2y(x)=10cos2xの特殊解は右辺が三角関数cos2xなので、
y(x)=Asin2x+Bcos2x（A,B：実数）とすると、
y'(x)=2Acos2x-2Bsin2x
y''(x)=-4Asin2x-4Bcos2x

上記を与式に代入すると、
-4Asin2x-4Bcos2x+2(2Acos2x-2Bsin2x)+2(Asin2x+Bcos2x)=10cos2x
-4Asin2x-4Bcos2x+4Acos2x-4Bsin2x+2Asin2x+2Bcos2x=10cos2x
(-2A-4B)sin2x+(4A-2B)cos2x=10cos2x

解と係数の比較から、
-2A-4B=0
4A-2B=10
A=2, B=-1

与式の一般解は、
y(x)=2sin2x - cos2x + (C1sinx+C2cosx)e^(-x)
y'(x)=4cos2x + 2sin2x + (C1cosx-C2sinx)e^(-x) - (C1sinx+C2cosx)e^(-x)

y(0)=-1+C2=0
y'(0)=4+C1-C2=2
C1=-1, C2=1

ゆえに、y(x)=2sin2x-cos2x+(-sinx+cosx)e^(-x)

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2019/06/20 11:33

ラプラス変換（かフーリエ変換）が使えれば、全く機械的にやるだけなのだけれどな。