電磁気についての質問です。 外径a,内径bの導体円環の真ん中に-Qを置いた。この時の内壁と外壁の電荷

電磁気についての質問です。
外径a,内径bの導体円環の真ん中に-Qを置いた。この時の内壁と外壁の電荷密度、内側と外側の電界、電位を求めよ。という問題なのですが、よくわかりません。ガウスの法則を使おうとしてもどのような閉曲面を使えば良いかわかりません。わかる方いましたら、教えていただけないでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/21 21:24

まずは、全体にどのように電荷が分布するかをきちんと「想像」することが大事です。

導体「円環」とは「球」ですかね？　「円筒」ではないですよね？
中空の導体球殻内の中空中心部に電荷 -Q （Q>0）を置けば、導体球殻の中の自由電子（負電荷）は「斥力」によって球殻の外側表面に追いやられ、電子のいなくなった「正孔」は球殻の内面表面に集まります。導体球殻内に電場があればそれによって電荷が移動しますので「導体内には電場がない」状態になります。
（中心部に置いた電荷 -Q と、導体球殻の内表面、外表面に分布した電荷の作る合成電場は、導体球殻内部ではゼロになるということです）

ということで、導体球殻の内表面には +Q の電荷が、導体球殻の外表面には -Q の電荷が分布するようになるというところまで想像できましたか？

あとは、この問題の場合には明らかに「球対称」なので、中心からの半径 r の球表面を「ガウス面」にしてガウスの法則を適用していけばよいのです。
そうすれば、空間の誘電率を ε として（もし真空中なら ε0）次のような手順でやればよいです。

(a) r<a のとき、ガウスの法則より
　∫EdS = -Q/ε
→　4パイr^2 ･E = -Q/ε
→　E1 = -Q/(4パイεr^2)

(b) a≦r<b のとき、ガウスの法則より
　∫EdS = (-Q + Q)/ε = 0
→　E2 = 0

(c) b≦r のとき、ガウスの法則より
　∫EdS = (-Q + Q - Q)/ε = -Q/ε
→　4パイr^2 ･E = -Q/ε
→　E3 = -Q/(4パイεr^2)

電位は、通常「無限遠を基準（電位ゼロ）」にしますので、そこから「単位電荷 +1 C」の電荷を移動してくる「仕事」がその場の電位となります。
これは、上の順番と逆に「中心から遠い方」から計算していきます。

(c) b≦r のとき
電場が
　E3 = -Q/(4パイεr^2)
なので、r=R にある単位電荷 q=+1 [C] に働く力は
　F3= qE3 = -Q/(4パイεR^2) [N]
よって、半径 r における電位は、この力でR：∞→r に移動してくる仕事なので
　V3 = ∫[∞→r](F)dR = ∫[∞→r]{-Q/(4パイεR^2)}dR
　　= [Q/(4パイεR)][∞→r]
　　= -Q/(4パイεr)

(b) a≦r<b のとき
電場が
　E2 = 0
なのでr=R にある単位電荷 q=+1 [C] に働く力は
　F2 = qE2 = 0 [N]
よって、半径 r における電位は、上記 F3 も含めた力でR：∞→r に移動してくる仕事なので
　V2 = ∫[∞→r](F)dR = ∫[∞→b]F3dR + ∫[b→r]F2dR
　　= ∫[∞→b]{-Q/(4パイεR^2)}dR + ∫[b→r]0dR
　　= [Q/(4パイεR)][∞→b]
　　= -Q/(4パイεb)

(a) r<a のとき
電場が
　E1 = -Q/(4パイεr^2)
なので、r=R にある単位電荷 q=+1 [C] に働く力は
　F1= qE1 = -Q/(4パイεR^2) [N]
よって、半径 r における電位は、上記 F3、F2 も含めた力でR：∞→r に移動してくる仕事なので
　V1 = ∫[∞→r](F)dR = ∫[∞→b]F3dR + ∫[b→a]F2dR + ∫[a→r]F1dR
　　= ∫[∞→b]{-Q/(4パイεR^2)}dR + ∫[b→a]0dR + ∫[a→r]{-Q/(4パイεR^2)}dR
　　= [Q/(4パイεR)][∞→b] + [Q/(4パイεR)][a→r]
　　= -Q/(4パイεb) + Q/(4パイεa) - Q/(4パイεrR)
　　= -[Q/(4パイε)](1/b - 1/a + 1/r)


もし「円環」が「円筒」だと異なった結果になりますが、その場合には中心に与える電荷は「線密度」のようなもので定義しないといけません。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/06/22 01:10

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/21 23:06

円環というのは 輪っかのことですが合ってますか？

真ん中に-Qを置いたとありますが、点電荷ですか?

もし、条件が以上ならガウスの法則は適用困難でしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/06/22 01:10