不定積分∫x^5(x^2+1)^1/3dxの求め方を教えてください。

不定積分∫x^5(x^2+1)^1/3dxの求め方を教えてください。

No.2 回答者： ibm_111 回答日時： 2019/07/07 22:57

wolframのサイトを使う

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+ …

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/07 22:48

y = (x^2 + 1)^(1/3) と置くと、

y^3 = x^2 + 1 より 3(y^2)dy = 2xdx.
また、x の範囲によって
x = (y^3 - 1)^(1/2) または x = -(y^3 - 1)^(1/2).

これを使って、
∫(x^5)(x^2 + 1)^(1/3) dx = ∫(x^5)y (3y^2/2x)dy
= (3/2)∫(x^4)(y^3)dy
= (3/2)∫(y^3 - 1)^2 (y^3)dy
= (3/2)∫(y^9 - 2y^6 + y^3)dy
= (3/2){ (1/10)y^10 - (2/7)y^7 + (1/4)y^4 } + C　; Cは定数
= (3/280){ 14y^6 - 40y^3 + 35 }(y^4) + C
= (3/280){ 14(x^2 + 1)^2 - 40(x^2 + 1) + 35 }(x^2 + 1)^(4/3) + C
= (3/280)(14x^4 - 12x^2 + 9)(x^2 + 1)^(4/3) + C.