数学についてです。 写真の問題についてで、補足の写真から先の積分の方針を教えてください。

数学についてです。
写真の問題についてで、補足の写真から先の積分の方針を教えてください。

質問者からの補足コメント

• 部分積分しました。

  
    補足日時：2019/07/19 18:36

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2019/07/19 19:32

1-x²≠tとおけば-2xdx＝dtだから

x³dx/√(1-x²)＝x²xdx/√(1-x²)＝(1/2)(t-1)dt/√t
になる。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/07/20 09:34

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/19 22:05

y = sin^-1 x と置くと、

x = sin y,
dx = (cos y)dy.
これを使って、
∫(3x^2)(sin^-1 x)dx = ∫(3(sin y)^2)y(cos y)dy = ∫y{(sin y)^3}’dy
= y(sin y)^3 - ∫1(sin y)^3 dy = ∫(sin y)^2 (-sin y)dy
= ∫{1-(cos y)^2}(cos y)’ dy = ∫(1-t^2)dt　; t = cos y
= t - (1/3)t^3 + (定数)
= (cos y) - (1/3)(cos y)^3 + (定数).

与式の中の sin^-1 ｘ が -π/2 〜 π/2 を値域にとると決めてあるのなら、
cos y = √(1 - x^2) としてよいから、
(与式) = √(1 - x^2) - (1/3)(√(1 - x^2) )^3 = (1/3)(2 + x^2)√(1 - x^2).

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/07/20 09:34