点電荷と電位の積分の解法を教えてください。

V=∫[r ∞]kQ/r^2dx


＝kQ/r

となるようですが、途中式はどのようになりますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/14 23:11

「ｘで積分（dx）」ではなく、「r で積分（dr）」ですね？

k, Q は定数。
「ｘで積分（dx）」なら、被積分関数は
　kQ/x^2

変数を x にして書きましょう。単純に
　∫x^a dx = [1/(a + 1)]x^(a + 1) + C　　　　①
の公式を使うだけです。

また、式が違います。
原点に正電荷 Q がある電場の中で、正の単位電荷「１」をＶ＝０となる基準点である「無限遠」から x=r まで運んでくるための仕事を計算します。働く力は「斥力」ですから、力の方向と移動方向が逆なので

　V = ∫[∞→r]{-kQ/x^2}dx

を計算するのです。

これを計算すれば

∫[∞→r]{-kQ/x^2}dx = -kQ∫[∞→r]{1/x^2}dx
= -kQ∫[∞→r]x^(-2)dx
= -kQ[1/(-2 + 1)]x^(-2 + 1)][∞→r]　　　　←①の公式を適用
= kQ[(1/2)]x^(-1)][∞→r]
= kQ[1/r - 1/∞]　　　　　　　←1/∞ = 0
= kQ/r

この回答へのお礼

ありがとうございます。おかげさまで解けました！

お礼日時：2019/08/15 01:01