自然数nと30の最小公倍数が180のとき、自然数nは○または○である ○には答えが入ります。解説よろ

自然数nと30の最小公倍数が180のとき、自然数nは○または○である

○には答えが入ります。解説よろしくお願いします

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/09/02 22:20

30の素因数分解は 2^1・3^1・5^1

180の素因数分解は2^2・3^2・5^1

最小公倍数とは、2数の同じ素数の素因数の指数をくらべ
大きい方の素因数を選んで掛け合わせたものなので

n=2^a・3^b・5^c

とすると

a=2、b=2、c=0又は1

n=36又は180

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/09/02 16:29

自然数nと３０の最大公約数をaとすると。

ｎ＝aB、３０＝aCとなってBとCには共通の約数は無く互いに素の関係になります。
よって、自然数ｎと３０の最小公倍数は、aBC=nC=180,n=180/C=180a/30=6a
30の約数は１，２，３，５，６，１０，１５，３０
これをaとした時BとCが互いに素になるのはa=6、３０の時です。（BとCが互いに素
の時約数１を含まない）
a=6でｎ＝３６、a=３０でｎ＝１８０
従って、自然数nは３６または１８０である
となります。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/09/02 15:58

例１０と６の最小公倍数は30

求め方　10=2x5
6=2x3
から共通の素因数２とどちらか一方にだけしかない因数５、３を取り出し掛け算する
2x3x5=30というように
つまり最小公倍数は
(共通因数)ｘ(10にしかない因数)ｘ(6にしかない因数) という仕組みで出来ている

これを踏まえ
nと３０の最小公倍数が180なら
30=2x3x5
180=2x2x3x3x5
だから
ｎと３０の両方に共通な因数が2x3x5の場合
最小公倍数=(共通因数)ｘ(nにしかない因数)ｘ(30にしかない因数)=(2x3x5)x(2x3)x1
ただし今回は共通因数と30の因数が等しいので、30にしかない因数はないので
(30にしかない因数)＝１としてある
このことからnにしかない因数は2x3
ゆえに共通因数とあわせると
n=2x3x5x2x3=180・・・答え

ｎと３０の両方に共通な因数が2x3の場合
最小公倍数=共通因数)ｘ(nにしかない因数)ｘ(30にしかない因数)=(2x3)x(2x3)x5
ゆえにn=2x3x2x3=36・・・答え

ｎと３０の両方に共通な因数が2x5の場合
最小公倍数=共通因数)ｘ(nにしかない因数)ｘ(30にしかない因数)=(2x5)x(2x3)x3　であるが
でこの式では
(nにしかない因数)=2x3
(30にしかない因数)＝３
となっていて、これは３も共通因数であることを示している
従って共通な因数が２と５だけと言うことはあり得ない

以下同じ理由で、該当する共通因数は2x3x5か2x3以外にありえないから
n=180または36