２離れた奇数が互いに素なことの証明

整数 ｎ が奇数のとき、n+2 も奇数です。

このことは自明ですか？
自明であるとすれば、その簡潔な理由が知りたいです。
自明でなければ、上手な証明をしたいのですが、どうしたらよいでしょう？

質問者からの補足コメント

• 自分で考えてみました。
  
  背理法を用います。
  奇数 n と n+2 が互いに素ではないと仮定する。
  
  このとき、3 以上の素数 p が存在して、 n と n+2 はともに p の倍数である。
  ∴ n=ap , n+2=bp を満たす整数 a,b が存在する。
  後者の式から前者の式を辺々それぞれ減じると、次の等式が導かれる。
  　2 = (b-a)p
  これは自然数が 2 が p の倍数（ p は 3以上の素数だった）であることを示しているが、これは自然数 2 が 2 以外の素因数を持たないことに矛盾。（q.e.d.）

    補足日時：2019/10/12 16:32

• 質問の内容の訂正です。
  
  n と n+2 が互いに素なことを示したいです。

    補足日時：2019/10/12 16:34

• 考えてみると、p の倍数は数直線上で p の刻みごとに現れる数なので
  一般に 整数 m と m+2 が互いに素でなければ、その公約数は 2 しかありえないですね。
  自明に思えてきました。

    補足日時：2019/10/12 16:47

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/12 17:31

３つめの補足の証明が、簡潔でいいと思うな。

少し書き方を変えて...

n+2 と n で互除法を行う。
n+2 を n で割れば、商 1 余り 2。
n を 2 で割れば、n は奇数だから、余り 1 で商は整数 q = (n-1)/2。
q を 1 で割ると割り切れるから、n+2 と n の最大公約数は 1。
最大公約数が 1 と判ったから、n+2 と n は互いに素。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
互除法によっても説明ができるのですね。
丁寧に過程を教えてくださってありがとうございます。

お礼日時：2019/10/14 11:30

No.11 回答者： konjii 回答日時： 2019/10/17 08:41

n=ab、n+2=acと公約数が含まれた場合（ｎ＝２ｍ－１、ｎ＋２＝２ｍ＋１；ｍは整数）

ｎ＋２－ｎ＝a(ｃーｂ）＝２からa＝１か２。a＝１の時、互いに素の定義に矛盾する（互いに１以外の約数を持たない）。a=2の時ｎとｎ＋２は偶数になり仮定と矛盾する。
こうすれば、補足の１番の　3 以上の素数 p が存在して、 n と n+2 はともに p の倍数である。
は要りませんね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

あなたの説明でa≧3とはならないことが棄却できていますね。ただし全体として論理に破綻があることは否めません。（たとえば、最初にmが登場するが、その後使用されていない点、「互いに素の定義に矛盾」と結論を定義・仮定としてしまっている点など。）補足1の、3以上の素数p〜の部分は、背理法の仮定を言い換えたにすぎないので「背理法の仮定」として必要です。

この質問掲示板を通して、私なりに奇数nとn+2が互いに素であることは、まずまず自明に感じられるようになっています。回答いただいた回答者の皆さんに感謝いたします。

お礼日時：2019/10/17 10:22

No.10 回答者： konjii 回答日時： 2019/10/16 15:44

ｎ＝ab、ｎ＋２＝ｃｄで表される（　a≠ｂ≠ｃ≠ｄは奇数）場合、abに２を加えても奇数なのでｎ＋２＝ｃｄとなり

nとn+2が共通の約数を持たないので、互いに素である。例：３３＝３ｘ１１、３５＝３ｘ７．
と組が非常に限定されるので、
ｎ＝a又はab、ｎ＋２＝ｃ又はｃｄで表される（　a≠ｂ≠ｃ≠ｄは奇数）場合、a又はabに２を加えても奇数なのでｎ＋２＝ｃ又はｃｄとなり
nとn+2が共通の約数を持たないので、互いに素である。例：３＝３、７＝７；７＝７、９＝９；９＝９、１１＝１１
・・・・１９＝１９、２１＝３ｘ７；２１＝３ｘ７、２３＝２３・・・
と全てにあてはまりますね。

この回答へのお礼

仮に、
n=ab
n+2=ac
と仮定したときに矛盾は導けますか？頂いた回答ではこのような場合わけが含まれていませんね？因みに、nとn+2が互いに素であることは示すべき結論なので、仮定として利用できませんよ。

お礼日時：2019/10/16 18:05

No.9 回答者： konjii 回答日時： 2019/10/16 10:58

おかしなこととは、変なことや妙なこと。

矛盾は、理屈として二つの事柄のつじつまが合わないこと。
から、背理法では矛盾を突かないといけません。
それはさておき、
奇数のnとn+2が互いに素であれば共通の約数を持たないのでｎ＝ab、ｎ＋２＝ｃｄで表される（　a≠ｂ≠ｃ≠ｄは奇数）
abに２を加えても奇数なのでｎ＋２＝ｃｄと矛盾しない。
とか、一般化して
奇数のnとn+ｍ（ｍは偶数）が互いに素であれば共通の約数を持たないのでｎ＝ab、ｎ＋ｍ＝ｃｄで表される（　a≠ｂ≠ｃ≠ｄは奇数）
abにｍを加えても奇数なのでｎ＋ｍ＝ｃｄと矛盾しない。

この回答へのお礼

nとn+2が互いに素なことを示すのが目標なので、
> 奇数のnとn+2が互いに素であれば
> 奇数のnとn+ｍ（ｍは偶数）が互いに素であれば
のように、結論を仮定とするのは議論の筋道が変ではありませんか？

お礼日時：2019/10/16 12:48

No.8 回答者： konjii 回答日時： 2019/10/16 07:47

質問者さまの

背理法を用います。
奇数 n と n+2 が互いに素ではないと仮定する。

このとき、3 以上の素数 p が存在して、 n と n+2 はともに p の倍数である。
∴ n=ap , n+2=bp を満たす整数 a,b が存在する。

この場合
ｎ＝７、ｎ＋２＝９の時７と９は、3 以上の素数ｐの倍数ではない。
n=ap , n+2=bp を満たす整数 a,b が必ずしも存在するとは言えない。
3 以上の素数 p が存在して、には、奇数 n と n+2の奇数を意識しているのは見え見えです。
素数に唯一偶数の２が含まれているからね。
加えて、同じ素数の倍数で全ての奇数は表せませんよ。
さらに、互いに素の数と素数は別物ですね。

この回答へのお礼

回答をいただいて失礼なお礼になり申し訳ないのですが、、、

おかしなことになるから、背理法が有効なのです。
nとn+2が奇数のもとで、それらが「互いに素でない」と仮定する。そして議論を進めると、結構簡単におかしなことになるから仮定の「互いに素でない」が棄却されて、結果として「互いに素である」ことが証明される。私はこうして「互いに素」なことを証明できているつもりです。そして、こうやって簡単に示せるからnとn+2が互いに素なことは「自明」ですか？とその単純さを質問しています。自明であれば、背理法など詳細に用いなくても説明できないものかと質問しています。その１つの考えが補足３です。

nとn+2が互いに素なことを簡単に示したいのであって、互いに素だったら割り切れるとか割り切れないとか、それを議論したいわけではありません。数学の論理は大丈夫ですか？

お礼日時：2019/10/16 10:08

No.7 回答者： konjii 回答日時： 2019/10/15 15:02

奇数２ｎ±１（nは整数）と２つ離れた奇数２ｎ±１±２は互いに素の場合割り切れないと書いています。

（２ｎ±１±２－±２）/(２ｎ±１±２)=1ー±2/(２ｎ±１±２)で余りの偶数/奇数は割り切れないと言っています。
質問者さまの
∴ n=ap , n+2=bp を満たす整数 a,b が存在する。
は整数 a,bが偶数のばあい、ｎとｎ＋２は偶数になって、
n=ap , n+2=bp を満たす整数 a,b が存在する。は間違いになりますね。
n=ap , n+2=bp を満たす奇数 a,b が存在する。と限定されて必要十分になっていません。

この回答へのお礼

＞∴ n=ap , n+2=bp を満たす整数 a,b が存在する。
は整数 a,bが偶数のばあい、ｎとｎ＋２は偶数になって、n=ap , n+2=bp を満たす整数 a,b が存在する。は間違いになりますね。

しいてaとbの偶奇について触れれば、nとn +2は奇数なので、aとbは奇数であると背理法の証明の中で主張することができます。つまり、aとbは偶数にはなり得ません。

お礼日時：2019/10/15 21:49

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2019/10/15 12:12

＃３で示したのは

互いに素　なら　割り切れない　を示したつもりです。
逆の　割り切れない　なら　互いに素　は必ずしも真でないので断言出来ません。
誤解を招く表現ですみませんでした。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

するとNo3では「互いに素である」こと（このQAの目標）は示すことができていません、でいいのですよね。

お礼日時：2019/10/15 14:22

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2019/10/15 06:53

例が悪うございました。

２つ離れた奇数なので。１５/13=1+2/13のように（ｎ＝６）。

15/10=1+1/2など　の１０は偶数ですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

２離れた奇数を用意する。

大÷小＝整数＋分数　⇒　割り切れない　⇒　互いに素
という説明をいただいていると思うのですが、その途中の

割り切れない　⇒　互いに素　①

という部分について、理解できずにいます。
※逆の命題　互いに素　⇒　割り切れない　②　は正しいと思います。

15/10 は割り切れないけど互いに素でない　
※これは命題①の判例（判例があるので命題①は偽ではないか？）
15/7 は割り切れない　
※これは真の命題②（真の命題）の具体例

であると思うのですが・・・。

お礼日時：2019/10/15 10:50

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2019/10/14 11:52

a>bで互いに素の場合a/bは整数＋分数になりますよね。

15/7=2+1/7のように。

この回答へのお礼

互いに素でなくとも、整数＋分数になりますよね。
15/10=1+1/2など

お礼日時：2019/10/14 22:29

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/10/13 08:06

奇数は２ｎ±１（nは整数）。

２離れていると２ｎ±１＋２で２ｎ＋１と２ｎ＋３、２ｎ±１ー２で２ｎ－１と２ｎ－３
これらは素の場合割り切れない。（他にも組はあるがこれを代表にする）
（２ｎ＋３)/(2n+1)=(2n+1+2)/(2n+1)=1+2/(2n+1)、余り2/(2n+1)の分子は偶数、分母は奇数より割り切れない。
(２ｎ－１)/(２ｎ－３)=(2n-3+2)/(2n-3)=1+2/(2n-3)、余り2/(2n－３)の分子は偶数、分母は奇数より割り切れない。
従って、２離れた奇数は互いに素である。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

「割り切れないこと」と「互いに素」は違いますよね？

お礼日時：2019/10/14 11:32