物理の電場の問題です。
座標(―a,0,0)と(a,0,0)の位置に電荷+qの点電荷を、原点に電荷―2qの点電荷を固定した。このとき座標(0,0,h)の位置での電場として、正しいものを1つ選べ。
ただし、a,q,hはいずれも正の実数であり、h≫aとして、正確に計算した後で(h²+a²)^p≃h^2p(1+pa²/h²)(pは実数)と近似するものとする。
1.(0,0,0)
2.3pa²/2πε₀h⁴(0,0,-1)
3.3pa²/4πε₀h⁴(0,0,1)
4.3pa²/4πε₀h⁴(0,0,-1)
5.3pa²/2πε₀h⁴(0,0,1)
という問題です。
全く分からないのでぜひ教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
この選択肢は、いったい何者なのですか?
選択肢の中に書いている座標っぽいものは「単位ベクトル」を示しているのかな?
なんで「公式」の p がそのまま選択肢の中にある? これ「p」ではなくて「q」ではないのかな?
問題文をきちんと再現できなければ、正しい回答はできませんよ?
まあ、選択肢は無視してふつうに解きます。
クーロンの法則はご存じなのでしょう?
2つの電荷の間に働く静電力。
座標 (0, 0, h) の位置に「単位試験電荷」(電荷量が「1」の電荷)を置けば、それに働く力が「電場の大きさ」です。
(F = q'E で q'=1 とおいたもの。「クーロン定数」を k と書けば F=k*q*q'/r^2 ですから E=k*q/r^2 になるということです)
座標 (-a, 0, 0) に置いた「電荷 q」との間の「単位試験電荷」との間に働く力の大きさは
F1 = k*q/(a^2 + h^2)
従って
E1 = k*q/(a^2 + h^2)
これは「やや斜め右上向き」なので、z 方向の成分は tanθ = a/h として
E1z = E1*cosθ = [k*q/(a^2 + h^2)]*cosθ
同様に、座標 (a, 0, 0) に置いた「電荷 q」との間の「単位試験電荷」との間に働く力の大きさは
F2 = k*q/(a^2 + h^2)
従って
E2 = k*q/(a^2 + h^2)
これは「やや斜め左上向き」なので、z 方向の成分は
E2z = E2*cosθ = [k*q/(a^2 + h^2)]*cosθ
同様に、座標 (0, 0, 0) に置いた「電荷 -2q」との間の「単位試験電荷」との間に働く力の大きさは
F3 = k*(-2q)/h^2 = -2k*q/h^2
従って
E3 = -2k*q/h^2
これは z 方向を向きます。
座標 (-a, 0, 0) と (a, 0, 0) は対称位置なので、合成した電場は z 方向を向きます。
以上より、座標(0, 0, h)の位置の電場の大きさは
E = E1z + E2z + E3 = 2[k*q/(a^2 + h^2)]*cosθ - 2k*q/h^2
ここで、cosθ = h/√(a^2 + h^2) なので
E = 2[k*q/(a^2 + h^2)]*[h/√(a^2 + h^2)] - 2k*q/h^2
= 2k*h*q/(a^2 + h^2)^(3/2) - 2k*q/h^2
= 2k*q[h/(a^2 + h^2)^(3/2) - 1/h^2] ①
ここまで求めた上で、h>>a として近似の公式を使えということなので、p=-3/2 としてこの公式を使って
(a^2 + h^2)^(-3/2) ≒ h^(-3)*[1 - (3/2)a^2/h^2] = 1/h^3 - (3/2)a^2/h^5
なので、これを①に代入して
E ≒ 2k*q[1/h^2 - (3/2)a^2/h^4 - 1/h^2]
= 2k*q*(-3/2)a^2/h^4
= -3k*q*a^2/h^4
ここでクーロン定数を
k = 1/(4パイε0)
に置き換えれば
E = -[3/(4パイε0)]*q*a^2/h^4
= -3*q*a^2/[(4パイε0)h^4]
これは「z軸方向」なので、「マイナス」ということは「z 軸の負方向」を向いているということです。
対称性から、x, y 方向の成分は 0 です。
選択肢のような「ベクトル成分」で書けということなら
→E = (0, 0, -3*q*a^2/[(4パイε0)h^4]) = 3*q*a^2/[(4パイε0)h^4] * (0, 0, -1)
ということです。
選択肢の中では、「p」を「q」と読み替えて「3」でしょう。
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