物理の問題です。

物理の電場の問題です。

座標（―a,0,0）と(a,0,0)の位置に電荷＋ｑの点電荷を、原点に電荷―2ｑの点電荷を固定した。このとき座標（0,0,h）の位置での電場として、正しいものを1つ選べ。
ただし、a,q,hはいずれも正の実数であり、h≫aとして、正確に計算した後で（h²+a²）＾ｐ≃h＾2p（1＋ｐa²/h²）（ｐは実数）と近似するものとする。

1．（0,0,0）
2．3pa²/2πε₀ｈ⁴（0,0,－1）
3．3pa²/4πε₀ｈ⁴（0,0,1）
4．3pa²/4πε₀ｈ⁴（0,0,－1）
5．3pa²/2πε₀ｈ⁴（0,0,1）

という問題です。
全く分からないのでぜひ教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/11/25 10:29

この選択肢は、いったい何者なのですか？

選択肢の中に書いている座標っぽいものは「単位ベクトル」を示しているのかな？
なんで「公式」の p がそのまま選択肢の中にある？　これ「p」ではなくて「q」ではないのかな？
問題文をきちんと再現できなければ、正しい回答はできませんよ？

まあ、選択肢は無視してふつうに解きます。

クーロンの法則はご存じなのでしょう？
２つの電荷の間に働く静電力。

座標 (0, 0, h) の位置に「単位試験電荷」（電荷量が「１」の電荷）を置けば、それに働く力が「電場の大きさ」です。
（F = q'E で q'=1 とおいたもの。「クーロン定数」を k と書けば F=k*q*q'/r^2 ですから E=k*q/r^2 になるということです）

座標 (-a, 0, 0) に置いた「電荷 q」との間の「単位試験電荷」との間に働く力の大きさは
　F1 = k*q/(a^2 + h^2)
従って
　E1 = k*q/(a^2 + h^2)
これは「やや斜め右上向き」なので、z 方向の成分は tanθ = a/h として
　E1z = E1*cosθ = [k*q/(a^2 + h^2)]*cosθ

同様に、座標 (a, 0, 0) に置いた「電荷 q」との間の「単位試験電荷」との間に働く力の大きさは
　F2 = k*q/(a^2 + h^2)
従って
　E2 = k*q/(a^2 + h^2)
これは「やや斜め左上向き」なので、z 方向の成分は
　E2z = E2*cosθ = [k*q/(a^2 + h^2)]*cosθ

同様に、座標 (0, 0, 0) に置いた「電荷 -2q」との間の「単位試験電荷」との間に働く力の大きさは
　F3 = k*(-2q)/h^2 = -2k*q/h^2
従って
　E3 = -2k*q/h^2
これは z 方向を向きます。

座標 (-a, 0, 0) と (a, 0, 0) は対称位置なので、合成した電場は z 方向を向きます。

以上より、座標（0, 0, h）の位置の電場の大きさは
　E = E1z + E2z + E3 = 2[k*q/(a^2 + h^2)]*cosθ - 2k*q/h^2

ここで、cosθ = h/√(a^2 + h^2) なので
　E = 2[k*q/(a^2 + h^2)]*[h/√(a^2 + h^2)] - 2k*q/h^2
　　= 2k*h*q/(a^2 + h^2)^(3/2) - 2k*q/h^2
　　= 2k*q[h/(a^2 + h^2)^(3/2) - 1/h^2]　　　　　　①

ここまで求めた上で、h>>a として近似の公式を使えということなので、p=-3/2 としてこの公式を使って
　(a^2 + h^2)^(-3/2) ≒ h^(-3)*[1 - (3/2)a^2/h^2] = 1/h^3 - (3/2)a^2/h^5
なので、これを①に代入して
　E ≒ 2k*q[1/h^2 - (3/2)a^2/h^4 - 1/h^2]
　　= 2k*q*(-3/2)a^2/h^4
　　= -3k*q*a^2/h^4

ここでクーロン定数を
　k = 1/(4パイε0)
に置き換えれば
　E = -[3/(4パイε0)]*q*a^2/h^4
　　= -3*q*a^2/[(4パイε0)h^4]

これは「ｚ軸方向」なので、「マイナス」ということは「z 軸の負方向」を向いているということです。
対称性から、x, y 方向の成分は 0 です。

選択肢のような「ベクトル成分」で書けということなら
　→E = (0, 0, -3*q*a^2/[(4パイε0)h^4]) = 3*q*a^2/[(4パイε0)h^4] * (0, 0, -1)
ということです。
選択肢の中では、「p」を「q」と読み替えて「3」でしょう。

この回答へのお礼

選択肢のpはqでした！
すみません！
間違えていたのに詳しく解説をつけて回答していただきありがとうございます！

お礼日時：2019/11/27 10:41