全然わからなくて困ってます！解き方を教えてください！

(1) (a+1)^5の展開式を求めよ
(2) (1)を用いて6^5-1は5^2の倍数であることを
求めよ
(3) 任意の自然数nに対して、「6^5^n-1は5^(n+
1)の倍数である」が成立することを数学的帰
納法を用いて証明せよ

途中経過も込みで教えてください。よろしくお願いします…！

No.1 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2019/12/24 08:17

（１）二項定理から

　　（a+1)⁵＝a⁵＋₅Ｃ₁a⁴＋₅Ｃ₂a³＋₅Ｃ₃a²＋₅Ｃ₄a＋１・・①
（２）①式でa=5と置くと
　　　６⁵－１＝５⁵＋₅Ｃ₁５⁴＋₅Ｃ₂５³＋₅Ｃ₃５²＋₅Ｃ₄５＝５²＊（５³＋₅Ｃ₁５²＋₅Ｃ₂５¹＋₅Ｃ₃＋１）・・５²の倍数
（３）6^5^n-1は5^(n+1)の倍数である
　　　ｎ＝１の時、６⁵－１は５²の倍数（２）で示した。
　　　ｎ＝ｎの時、6^5^n-1は5^(n+1)の倍数である事が成り立つとすれば
　　　ｎ＝ｎ＋１で、6^5^(n+1)-1は5^(n+２)の倍数である事を示せばよい。
6^5^(n+1)-1は6⁵＊６^5^n-1であり６⁵＊(5^(n+1)の倍数)である。
　　　６⁵は５²の倍数だから、６⁵＊(5^(n+1)の倍数)は（５²の倍数)(5^(n+1)の倍数)である。
（５²の倍数)(5^(n+1)の倍数)は（５の倍数)(5^(n+２)の倍数)と書き換えられるのでｎ＝ｎ＋１でも成り立った。
　　　よって、
　　6^5^n-1は5^(n+1)の倍数である、は正しい。