画像の式はなぜ0なのでしょうか？ π〜-πの間の面積が0という事でしょうか？ どうか理由を教えてくだ

画像の式はなぜ0なのでしょうか？
π〜-πの間の面積が0という事でしょうか？
どうか理由を教えてください。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/24 14:13

y=sim(mt)とかy=cos(mt)のグラフは

y=sintやy=costを　水平方向に縮小したグラフであることは良いでしょうか？（水平方向の拡大率1/m倍）

原点対称のｙ＝sintのグラフを思い浮かべてもらえば分かる通り、-πから０の区間の図形と、０からπの区間の図形は合同です。ただし前者はy軸より下の部分にできる図形なので定積分では面積＝-S(マイナスS)として導出されます
一方後者はy軸より上の部分にできる図形なので定積分では面積＝＋S(プラスS)として導出されます
ゆえに区間-π～πでの定積分では、相殺され-s+s=0となります
y=sin(mt)はこれを縮小しただけのものなので、図形の対称性により　＝０です

次にy=costについて　区間0～π/2にできる図形と、π/2～πにできる図形は合同ですが
先ほど同様前者はy軸より上にあり、後者は下にあるという違いがあります
ゆえに0～πの区間の面積は相殺され　＝０です
-π～0の区間も図形の対称性により　＝０です
ゆえにy=costの定積分は　-π～πでは　＝０です
y=cos(mt)はこれを縮小コピーしただけの事ですから、やはり　＝０です

無論、素直に式だけをいじって、定積分の計算をすれば「＝０」が出てきます

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/12/24 14:25

ま、そういうことです。

0より上になる部分と下になる部分の面積が一緒ということで、
ｍｔであれば、-π～πの間にｍ周期分のsinなりcosがあるということです。

積分の計算をしてよいなら、
sinのほうは
-[cos(mπ)]/m+[cos(-mπ)]/m となり　cos(x)=-cos(x) ですから、
0になります。

cosのほうを計算すると、、、
2[sin (mπ)]/m となるのかな？
でも、sin (mπ)＝0　∀m∈Zですから、、、0になります。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/24 15:21

計算だけで処理するなら

{(-1/m)cos(mt)}'=(-1/m){-sin(mt)}(mt)'=sin(mt)だから
この微分の逆操作と考えて
∫sin(mt)dt=(-1/m)cos(mt) +C (Cは積分定数）
定積分なら積分区間-π～πを加えて
∫[-π～π]sin(mt)dt=[(-1/m)cos(mt)](積分区間-π～π)
=(-1/m)cos(mπ)-{(-1/m)cos(m(-π))｝
=(-1/m)cos(mπ)-{(-1/m)cos(mπ)}
=0

同様に
{(1/m)sin(mt)}'=(1/m)cos(mt)(mt)'=cos(mt)だから
∫∫[-π～π]cos(mt)dt=[(1/m)sin(mt)](積分区間-π～π)
=(1/m)sin(mπ)-{(1/m)sin(m(-π))}
=(1/m)sin(mπ)+{(1/m)sin(mπ)}
=0-0
=0
(∵　sinmπ=0)

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2019/12/24 22:57

「面積」という「常に正」のものをイメージしていると判断を間違えます。

「積分」においては「負の面積」に相当するものも存在します。「どちらからどちらを引くか」という「被積分関数」を逆にすれば積分結果の符号も逆転します。
どうしても「正の結果」にしたければ

　∫|sin(mt)|dt

としなければいけません。