唯一の素イデアルしか持たない環でもネーター環とは限らないということの例についてです。アティマクの14

唯一の素イデアルしか持たない環でもネーター環とは限らないということの例についてです。アティマクの141ページの例になります。
A=K[x_1,....,x_n,.....］
を体K上の可算無限個の不定元x＿nに関する多項式環とする。そのイデアル
I=(x_1,(x_2)^2,.....,(x_n)^n,.....)とする。
B=A/IとするとBはただ一つの極大イデアルを持ち、次元0の局所環となる。またBはネーター環ではない。あるのですがBの唯一の素イデアルとしてM=(x_1,x_2,.....,x_n,.....)の像をとれば良いと有りました。

ここで質問なのですが、π(M)が極大イデアルであることは分かりましたが、一意性が証明できません。Bの素イデアルはπ(M)しかないことの証明を教えてください、

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/01/20 21:05

A=K[x_1,…,x_n,…]

I=(x_1,(x_2)^2,…,(x_n)^n,…)
M=(x_1,x_2,…,x_n,…)
B=A/I
の素イデアルをPとする
任意のx_n∈Mに対して
(x_n)^n∈I⊂π^(-1)(P)
だから
π(x_n)^n∈P
Pは素イデアルだから
π(x_n)∈P
だから
π(M)⊂P
↓π(M)は極大イデアルだから
π(M)=P
だから
∴
Bの素イデアルはπ(M)しかない