f(x)=Ｘ^3 +Ｘ^2 - Ｘ - 1 g(x)=k(Ｘ- 1)の時 この問題のkの範囲の出し方

f(x)=Ｘ^3 +Ｘ^2 - Ｘ - 1
g(x)=k(Ｘ- 1)の時
この問題のkの範囲の出し方はどうすれば良いんですか？
(僕は　CとLの合体した方程式の微分した関数が判別式D>0だと思って解いたんですが違うようです)

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/28 14:12

はじめに、あなたの先日の質問　「答えが６となる三角形の問題」について補足しておきましたからよかったら見てください（・・・見てくれている人にはそれなりに対応します）

本題
(x)=Ｘ^3 +Ｘ^2 - Ｘ - 1
g(x)=k(Ｘ- 1)
より　y=f(x)とy=g(x)のグラフの交点の座標の求め方は
y=Ｘ^3 +Ｘ^2 - Ｘ - 1…①
y=k(Ｘ- 1)…②
を連立方程式にして
Ｘ^3 +Ｘ^2 - Ｘ - 1=k(Ｘ- 1)
⇔Ｘ^3 +Ｘ^2 - (k+1)Ｘ - 1+k=0
から、交点のｘ座標を求めますよね
交点P(1,0)が分かっているので、そのｘ座標から因数(x-1)を持つことが分かるため
Ｘ^3 +Ｘ^2 - (k+1)Ｘ - 1+k＝(x-1)(x²+ 2x + 1 - k)=0という形に因数分解するのが第一候補だし、最も省エネだと思います
(x-1)から求まる解　x=1はPのｘ座標だから
(x²+ 2x + 1 - k)=0…③から求まる解がＱおよびＲのｘ座標です
ということは、③の解はともに１より小さくないといけません
グラフで言えば、「y=(x²+ 2x + 1 - k)のグラフが　x=1より小さい範囲でｘ軸と2回交わる」…④ということです
そのような条件があるときの扱い方は、数1の2次関数の単元で習ったはずです(放物線とｘ軸の共有点の位置　などというテーマで書かれているはず）
④となるための条件は
2次方程式③の判別式が、　D/4=1²-(1-k)k>0・・・[a]
グラフの軸がx=1より左にあること　④のグラフは軸がx=-1なのでこの条件はすでにクリア
f(1)=1²+2+1-k>0
k<4・・・[b]
ゆえに3条件を満たす範囲は 0<k<4と求まります

ここに2次方程式③に対して判別式が必要となることが分かります

さてあなたの思考回路に沿って解くなら
Ｘ^3 +Ｘ^2 - (k+1)Ｘ - 1+k=0について
h(x)=Ｘ^3 +Ｘ^2 - (k+1)Ｘ - 1+kとおきます
h'(x)=3x²+2x-(k+1)ですが
3x²+2x-(k+1)=0の判別式は
D/4=1²+3(k+1)=3k+4です
y=h(x)のグラフが極大値と極小値を持つための条件はD>0⇔D/4>0(何故そうなのかは、解説が長くなるので割愛・・・テキスト等で確認を）
だから3k+4＞0
⇔(-3/4)<kです
しかしこれだけでは　y=h(x)のグラフが極値を持つということにしかならず、
y=Ｘ^3 +Ｘ^2 - (k+1)Ｘ - 1+k…⑤のグラフがx軸と異なる3交点を持つことにはなりません
（⇔⑤のグラフがｘ軸と3交点を持つなら　y=0としてＸ^3 +Ｘ^2 - (k+1)Ｘ - 1+k=0は異なる3つの解をもつ⇔ＰＱＲの3交点を持つ）
このためあなたのやり方では正しい答えが出なかったのです

そこで追加条件が必要
y=h(x)=Ｘ^3 +Ｘ^2 - (k+1)Ｘ - 1+k　という3次関数のグラフがＮ字型の概形になることから（3次関数の概形は覚えておくべき事項）
h(x)の極大値がプラスで、極小値がマイナスなら⑤のグラフはｘ軸と異なる3交点を持つことになります
D/4=1²+3(k+1)=3k+4=dとおくと
h'(x)=3x²+2x-(k+1)=0を解の公式で解くと
x=(-1±√d)/3={-1±√(3k+4)}/3　←←←この意味が分からなければ素直に解の公式に当てはめてみてください、同じ結果が得られます

x={-1-√(3k+4)}/3で極大値となり
ｘ={-1＋√(3k+4)}/3で極小値となることは分かりますが
極大値や、極小値を求める計算は面倒です
そのうえ、極値を計算しても、P,Q,Rの並び順を考慮すると更なる追加条件も必要です
ということで面倒すぎてこの先を書く気にもなりません。やはり先に示した因数分解の方針で解くべきという結論になります

この回答へのお礼

❶問題にpqrの条件がある必要が理解できました(正直、pqrの条件があるのと、ないのと　問題の解き方が変わらないと思ってました)

❷そしてこの問題の解き方の流れも理解できました

❸しかし、一つ疑問に思ったのが、僕のやり方の話についてです


貴方の置いたh(x)が極値を持つことが示せた時点で、Ｘ軸との共有点が3つあるのを示せている　と思っていたのですが、
これは極値の部分がＸ軸と重解を持っている時はＸ軸との共有点が3つではなく、2つになる場合もあるので、
わざわざ貴方が示した極値がそれぞれ　正　負である事を示さなければならない　という事でしょうか？

❹回答ありがとうございました^_^

お礼日時：2020/02/28 15:44

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/28 17:03

貴方の置いたh(x)が極値を持つことが示せた時点で、Ｘ軸との共有点が3つあるのを示せている　と思っていたのですが、

これは極値の部分がＸ軸と重解を持っている時はＸ軸との共有点が3つではなく、2つになる場合もあるので、
わざわざ貴方が示した極値がそれぞれ　正　負である事を示さなければならない　という事でしょうか？

>>>3次関数h(x)のグラフをイメージです
どんな3次関数でもグラフがマイナスになる部分とプラスになる部分があります
だから、y=h(x)も最低1回はx軸をまたぐことになります（・・・交点は最低でも1個）
そして、極値を持つような3次関数ならN字型で　左から順に、x軸より低い部分→極大値→極小値→x軸より高い部分　というような概形になります
ただし、極大や極小とx軸との位置関係はケースバイケース
この極大値・極小値が共にプラスなら、3次関数はマイナスからプラスに変わるので、極大値より左で１回x軸をまたぐことになります
しかし、極大から右へ視線を移していくと、極小点が最も低い部分となりますが
ここがプラスでは極大より右ではh(x)は1回もx軸をまたぐ機会がないのです
したがって極大極小ともにプラスでは交点は1個のみ
また　極大がプラス、極小が０だと　極大より左で１交点、極小で１接点　計２交点しかないのでダメ
極大値がプラス、極小がマイナスなら、極大より左で１交点、極大と極小の間で１交点、極小より右で１交点　合計３交点となるのです

同様に考えてもらうと、極大極小ともにマイナスなどもNGです
ということで、y=h(x)がx軸を３回またぐための条件は　極大値がプラス、極小値がマイナスです

ただし、これだけではPQRがこの順となるとは限りませんのでさらなる追加条件が必要です
こんな回りくどいことをするよりは、初めから因数分解したほうが簡単で、間違う気づかいも少ないのです。

この回答へのお礼

なるほど　そもそも極大極小がＸ軸とどの辺に交点を持つかわからない　という事ですね
理解しました

そして、先に示したやり方を使います

お礼日時：2020/02/28 18:33

No.3 回答者： 20170130 回答日時： 2020/02/28 14:20

P(1,0) であり

3つの交点が、右から P,Q,R なので
x<1 の範囲に異なる解を2つ持つことが条件になります

No.1様ご説明の通り
f(x) - g(x) = (x^3 + x^2 - x - 1) - k(x-1) = (x - 1)((x+1)^2 - k) だから
h(x) = (x + 1)^2 -k = 0 が x<1 の範囲に異なる解を持つ 条件を考えればよくて
h(-1) < 0 および h(1) > 0 になると思います

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/02/27 23:25

微分する理由が解らない。

f(x) = g(x) となる x = 1 以外の点を扱いたいなら、
f(x) - g(x) = (x-1) h(x) と因数分解して
h(x) = 0 の解について考えればいい。
h が二次関数なので、解の存在条件には
この h の判別式を使えばいいことになるが...

f(x) - g(x) = (x^3 + x^2 - x - 1) - k(x-1) = (x - 1)(x^2 + 2x + 1 - k)
だから、判別式を持ち出すまでもなくて、x^2 + 2x + 1 - k = 0
すなわち (x + 1)^2 = k に解が存在する条件は、すぐ判る。