画像に載せた分数の展開の問題を、まともに通分しながら一つ一つ計算しないでも簡単に計算する方法を教えて

画像に載せた分数の問題なんですが、まともに通分しながた一つずつ計算しなくても、簡単に計算できる方法があるのは教わったのですが、分数が苦手で、良く分かりませんでした。

この問題の一つの掛け算を見ると、x^2+(a+b)x+abになるので、x^2になるとこをだけを計算で求めて、つぎにa+bになるところを計算して、abのになるとこを計算してみたいな感じで、簡単に展開した答えが出せると教えてもらったのですが、分数苦手で良く分かりませんでした。

詳しくこの式を簡単に展開する方法を教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

上手く説明できなくて、申し訳ございません。

No.4 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/03/18 07:53

A=1/15　B=1/17　とおきます。

与式=(x-A)(x-B)+(x-A)(x+B)　+　(x+A)(x-B)+(x+A)(x+B)
=(x-A)(x-B+x+B)　+　(x+A)(x-B+x+B)
=(x-A)(2x)　+　(x+A)(2x)
=2x^2-2Ax+2x^2+2Ax
=4x^2

No.3 回答者： くらふき 回答日時： 2020/03/17 22:02

丁寧に書いたらこういうことだと思います！

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/03/17 21:07

x-(1/15)=a; x-(1/17)=b; x+(1/17)=c; x+(1/15)=d とすれば、

問題の式は ab+ac+bd+cd となりますね。
で、a(b+c)+d(b+c)=(a+d)(b+c) となりますから、
ここで a, b, c, d を 元に戻せば よいです。
計算はかなり 楽になる と云うより 暗算ベースですよね。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/03/17 20:51

(x-a)(x-b)+(x-a)(x+b)+(x+a)(x-b)+(x+a)(x+b)

=(x-a)[(x-b)+(x+b)]+(x+a)[(x-b)(x+b)]
=(x-a)(2x)+(x+a)(2x)
=(2x)[(x-a)+(x+a)]
=(2x)(2x)
=4x²