高校数学 逆関数と第2次導関数 y=cosxの逆関数y=f(x)の、x=√3/2のときの第2次導関数

高校数学
逆関数と第2次導関数

y=cosxの逆関数y=f(x)の、x=√3/2のときの第2次導関数を求める問題

解答の途中の赤波線部の式変形が理解できません。教えていただきたいです。

質問者からの補足コメント

• y=cosxを逆関数にして2回微分してるとこだけに注目していただければと思います。

    補足日時：2020/03/30 22:59

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/03/31 10:24

dy/dx=-1/sin(y)

だから、最初の波線までは良いですよね?

d/dy(-1/sin(y))
は、合成関数の微分

z=f(u)、u=g(v)
dz/dv=df/du・du/dv
を使って、

z=-1/u, u=sin(y)
dz/dy=(1/u^2)・cos(y)=cos(y)/(sin(y))^2

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/03/31 00:33

sin(y) = z とおけば

d(-1/z)/dy = [d(-1/z)/dz]･(dz/dy)
= -[d(z^(-1))/dz]･(dz/dy)
= (1/z^2 )･cos(y)
= cos(y) / sin^2(y)

ここでは
　f(z), z=g(y)
のときに、
　df/dy = (df/dz)(dz/dy) = f'(z)･g'(y)
であることを使っています。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/03/30 23:19

-1/sinyをyで微分すると、

d (-1/siny)/dy=(-(siny)^(-1))'
=((siny)^(-2))×(siny)'
=(1/(siny)^2)×cosy
=cosy/(siny)^2

となる。