なぜ(2)はこのような式で答えを求めることができるのですか？解答にこの式だけあったので理解できません

なぜ(2)はこのような式で答えを求めることができるのですか？解答にこの式だけあったので理解できませんでした。
教えてください。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/04/08 23:31

時々刻々の運動を記述して、それぞれの速度や移動距離を求めるには「運動方程式」を立てて求める必要がありますが、この場合には「すべり出し」と「Ｑの高さが h だけ下がったとき」との差をピンポイントに求めればよいので、エネルギー保存則から求めます。

(1) は摩擦がないので、位置エネルギーと運動エネルギーの合計（つまり力学的エネルギー）だけを考えればよいです。
すべり始める位置での位置エネルギーを基準にすれば、そのときには運動エネルギーも 0 です。
　Ｑが h だけ下がったときの速さを v とすれば、質量 m のＰも同じ速さですから、運動エネルギーは
　　Ek = (1/2)mv^2 + (1/2)(4m)v^2 = (5/2)mv^2　　　③
になります。
　位置エネルギーは、Ｑが高さ h だけ下がり、逆にＰは h*sin(30°) = (1/2)h だけ高くなっていますから、位置エネルギーの低下は
　　Ep = 4mgh - (1/2)mgh = (7/2)mgh　　　④

エネルギー保存則より、③と④が等しくなるので
　　(5/2)mv^2 = (7/2)mgh
→　v^2 = (7/5)gh
→　v = √[(7/5)gh]

(2) 上記(1)に対して、「摩擦力のした仕事」分だけ運動エネルギーは小さくなります。
摩擦力の大きさは、Ｐの垂直抗力が
　N = mg*cos(30°) = (√3 /2)mg
なので
　摩擦力 = μN = (1/√3)(√3 /2)mg = (1/2)mg
移動距離が h なので（斜面上であってもＰの移動距離はＱと同じ）
　摩擦力のする仕事 W = (1/2)mg × h = (1/2)mgh

従って、(1)の Ek, Ep を使って
　Ek = Ep - W
になることから
　　(5/2)mv^2 = (7/2)mgh - (1/2)mgh = 3mgh
→　v^2 = (6/5)gh
→　v = √[(6/5)gh]


おそらく、模範解答では、基本的な考え方の説明を (1) でしているので、それに「摩擦のする仕事」を追加した式だけを載せているのではないですか？
ちゃんと (1) から通して解説を読んでくださいね。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/04/08 23:47

①4mgh (4mhは間違い)

Qが重力から貰ったエネルギー
②(1/2)5mv^2
P,Q の運動エネルギー
③(1/2)mgh
Pが重力で失なったエネルギー
④(1/√(3))mgcos30°×h
Pが摩擦で失なったエネルギー

エネルギー保存則から
①=②+③+④
②=①-③-④=3mgh=(1/2)5mv^2

v=√((6/5)gh)

No.3 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2020/04/09 10:32

知っておかなければならない事は、

（力学的エネルギーの変化）＝（非保存力のした仕事）
の関係です。
（力学的エネルギー）＝（運動エネルギー）＋（位置エネルギー）
非保存力とは、重力（万有引力）、弾性力、静電気力、以外の力と、とりあえず憶えておいてくれればいいです。
つまり、この問題の場合、非保存力は摩擦力と張力になります。
仕事の式を思い出してくれれば、摩擦力がした仕事Ｗは
Ｗ＝－ｆ・ｘ　ｆ：摩擦力の大きさ　ｘ：物体の移動距離
です。
張力の仕事は、張力をＴとすると、
物体Ｐ：Ｔ・ｘ　　物体Ｑ：－Ｔ・ｘ　　ｘ：物体の移動距離
となり、Ｔ・ｘ＋（ーＴ・ｘ）＝０　ですから、Ｐ，Ｑをひとまとまりで考えると、張力の仕事は０です。
ですから、（ＰとＱの力学的エネルギーの和の変化）＝（摩擦力のした仕事）　が成り立ちます。
ちなみに、「変化」とは、（変化）＝（変化後の値）－（変化前の値）　です。

これらの事を使って、ていねいに式を立て、それを書き直すと写真の式が出てくる事を確認してみて下さい。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2020/04/09 15:26

力学的エネルギーの変化＝摩擦力のする仕事をつかう。

つまり
1/2×5ｍｖ²＋1/2ｍｇｈ－4ｍｇｈ＝－1/√3ｍｇcos30°×ｈ
移項すればその式が出る。