lim(x→2) x^3-8/x^2-4という極限の問題でいきなりxに2を入れるのと因数分解してから

lim(x→2) x^3-8/x^2-4という極限の問題でいきなりxに2を入れるのと因数分解してから2を入れるので答えが違うのはなんでですか？？

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/04/14 10:38

lim[x⇒2] f(x)とは f(x+ε) で、εを小さくしたら f(x+ε)は何に近づくか

ということなので、

因数分解しなくても
lim[x⇒2](x^3-8)/(x^2-4)=lim[ε⇒0](2^3 + 3ε・2^2 + 3ε^2・2 + ε^3 - 8)/(2^2 + 2ε・2 + ε^2 - 4)
= lim[ε⇒0](3ε・2^2 + 3ε^2・2 + ε^3)/(2ε・2 + ε^2)
=lim[ε⇒0](3・2^2 + 3ε・2 + ε^2)/（4+ε)=3
でちゃんととける。
でも、因数分解すれば
lim[x⇒2](x^3-8)/(x^2-4) = (x^2+2x+4)/(x+2)=lim[ε⇒0](2^2 + 2ε・2 + ε^2 + 2・2 + 2ε + 4) /(2 + ε + 2)
= 12/4=3
で同じ答えになるし、ずっと簡単。

これを、後者は分母が 0 に近づかない形に直せば、x=2 をそのまま代入すれば解けると覚えるのだけど
分からなくなったら基本にもどろう。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2020/04/13 13:51

いきなり2をいれても分母も分子も0になるからね。

0/0　の形では実際の極限はわからないということ。
0/0では収束することもあるし∞に発散するケースもある。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/04/13 11:39

#2補足

ちなみに　なぜこの問題では因数分解してからなのか・・・
Limx→2　の意味は本来　x=2を代入ということではありません
xを限りなく２に近づけていくということです
すると、x^3-8は０に、x^2-4も０に近づきますが、０に近づくスピードが違うのです

x^3-8やx^2-4のままでは計算が大変なので
別の例としてx³とx²についてx→0のときの様子を比べてみると
x=1ではx³=x²=1で差がありません。
しかし、x=0.1では　x³=0.001,x²=0.01で10倍の開きがあります
x=0.01では　x³=0.00001,x²=0.0001 で100倍の開き
x=10⁻¹⁰では　100億倍のひらきとなります
このように、x³はx²に比べて速いスピードで０に近づくので
x=0近辺ではx³はx²に比べれば無視しても構わないほど小さいということで
例えばx²+x³≒x²として構わないのです
また、x→0では、x³/x²は分子のほうがはるかにはやく０になることが分かるので、x³/x²→０であろうという予測が成り立ちます
で、実際に約分して計算してみるとLiｍ(x→0)(x³/x²)=Lim(x→0)x=0で予測と一致

ということで、本題に立ち返っても、ｘ→2ではx^3-8とx^2-4のどちらのほうが０になるスピードが速いかということが問題となります！
このままの形では判断が付きにくいので因数分解してからx→2とすることになるのです

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/04/13 10:55

いきなり２を入れて答えが求まりましたか？

0/0になりませんでしたか？

極限を考えるとき、機械的に2を入れても良いのは、分母だけが０になる場合か、分子だけが０になる場合です！
今回は、分母分子共に０に近づくので　0/0となりこれは「不定形」と呼ばれ極限が定まらない形ですから、
不定形を解消するか、（高校の範囲外ですが）ロピタルの定理などを用いて式変形してからx→２を行わないといけません！
つまり、いきなり０を入れてもとまった形と言うのは間違いということです

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2020/04/13 09:57

「答が違う」って、「いきなりxに2を入れ」て 答えが出るのですか。

x=2 とすると、問題の式の分母が 0 になりますから、やってはいけない計算方法です。
x が 2 に近づくのですが、2 にはなりませんから、(x-2) で約分してから 答えを求めます。