単振動の微分方程式x"(t)=-ω²x(t)の一般解がx(t)=Csin(ωt)+Dos(ωt)であ

単振動の微分方程式x"(t)=-ω²x(t)の一般解がx(t)=Csin(ωt)+Dos(ωt)である事は高校程度の数学の知識で示せますでしょうか？

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2020/04/17 22:50

ｘ’’＋ω²x＝0の解のｘとｘ’をつかって

ｘ＝Csin(ωt)+Dｃos(ωt)･･･①
ｘ’＝Cωcos(ωt)－Dωsin(ωt)･･･②　によってｔの関数C、Dを定義します。
これは行列式
｜sin(ωt)、 ｃos(ωt) ｜＝-ω≠0　なので一意的に定義できる関数です。
｜ωcos(ωt)、-ωsin(ωt)|
①の両辺を微分して②と比較すると
C´sin(ωt)+D´ｃos(ωt)＝0･･･③
②の両辺を微分して①とｘ’’＋ω²x＝0二注意すれば
C´ωcos(ωt)－D´ωsin(ωt)＝0･･･④
ただし、C´、D´はC、Dの時間微分です。
行列式
｜sin(ωt)、　 ｃos(ωt)｜＝-ω≠0　だから③④から任意の時刻でC´＝D´＝0
｜ωｃos(ωt)、-ωsin(ωt)｜　　　　　ゆえにC、Dは定数になり
　　　　　　　　　　　　　　　　　①から結論が出ます。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/04/17 19:58

w≠0 とします。

x'を両辺に掛けて、よく知られた変形します。
(x'²/2)'=-w²(x²/2)'
積分して
x'²=-w²x²+C=A²-w²x²　(C>0 と分かるので、C=A² とおく)
x'=±√(A²-w²x²)

±dx/√(A²-w²x²)=dt
x=(|A|/w)sinu とおくと、
dx=(|A|/w)cosu du、√(A²-w²x²)=|A||cosu| , cosu/|cosu|=±1　なので

±(|A|/w)cosu du/(|A||cosu|)=dt → ±(±du/w)=dt → ±u=wt+B → sin(±u)=sin(wt+B)
(複合同順でないので、±(±)=± )

±(w/|A|)x=sin(wt+B) → x=(±|A|/w)sin(wt+B)
Aは任意なので改めて、(±|A|/w) → A と置いても一般性を失わない。すると
x=Asin(wt+B)

これで、終わりですが、
x=Asin(wt+B)=(AcosB)sinwt+(AsinB)coswt
A,Bは任意なので、改めて、任意定数C,Dとして、C=(AcosB), D=(AsinB) としても一般性は失わない。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/04/17 16:26

示すだけなら代入してみればすぐ解ります。

他に解がないことを示すには、一般解の個数と微分方程式の階数
の関係の知識が必要。高校では無理。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/04/17 16:24

「微分」ができれば、実際に代入して「解になっている」ことは確認できるでしょう。

ただ、それが「一般解」であることまではいえないかな。