行列式の分解を行いたいが、具体的な方法がわからない

このような行列式を公式 | AB | = |A| |B| を用いて解け、という問題を解いています。
https://imgur.com/ws1Lezm

ここでまずは |AB| にあたる画像の行列式を
|A| |B| という2つの行列式に分解する必要があると思ったのですが
この分解の仕方がわかりませんでした。
逆に行列式どうしの掛け算であればできるのですが、その逆をどう行ったらよいか知りたいです。

ご教授よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 答えは以下のリンク先画像のようになっています：
  https://imgur.com/SZZuMa9

    補足日時：2020/05/03 14:53

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/03 17:43

行列 C を与えられたとき、何でも好きな正則行列 B を持ってきて

A = C(B^-1) と置けば AB = C ではあるけれど...
https://imgur.com/SZZuMa9 を思いつく人は冴えてるねえ。
多項式成分の行列 C について、A, B に分母が生じない分解を
いつでも与える方法なんて存在しないんじゃない？

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/05/03 18:02

[b²+c² ab ca]

[ab c²+a² bc]
[ca bc a²+b²]
=
[? ? ?][? ? ?]
[? ? ?][? ? ?]
[? ? ?][? ? ?]

まず、ABの(1,1)要素=b²+c² となる最も簡単なものを選び
[b c ?][b ? ?]
[? ? ?][c ? ?]
[? ? ?][? ? ?]
と当たりを付ける。するとABの(1,2),(1,3)要素=ab,ca の結果を満たすには
[b c ?][b a 0]
[? ? ?][c 0 a]
[? ? ?][? ? ?]
と分かる。つぎに、ABの(2,2)要素=c²+a² から
[b c ?][b a 0]
[a ? c][c 0 a]
[? ? ?][? c ?]
と分かる。つぎに、ABの(2,1),(2,3)要素=ab,bc から
[b c ?][b a 0]
[a 0 c][c 0 a]
[? ? ?][0 c b]
とわかる。つぎに、ABの(3,3)要素=a²+b² から
[b c ?][b a 0]
[a 0 c][c 0 a]
[? a b][0 c b]
と分かる。つぎに、ABの(3,1)要素=ca から
[b c ?][b a 0]
[a 0 c][c 0 a]
[0 a b][0 c b]
と分かる。さいごに、ABの(1,2)要素=ab から
[b c 0][b a 0]
[a 0 c][c 0 a]
[0 a b][0 c b]
となる。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/05/09 05:36

この計算を普通の方法で求めてみる。

始め無理かと思ったが、答えを見ると、まず、b²+c² を
消さないことには進まないと思い考えた。
　　A=|b²+c² ab ca |
　　　 | ab c²+a² bc |
　　　 | ca bc a²+b²|
１,２,３列をそれぞれ a,b,c倍すると
　　　 |a(b²+c²) ab² c²a |×1/(abc)
　　　 | a²b b(c²+a²) bc² |
　　　 | ca² b²c c(a²+b²)|
となる。(１列)-(2列)-(3列)を計算すると
　　　 | 0 ab² c²a |×1/(abc)
　　　 | -2bc² b(c²+a²) bc² |
　　　 | -2cb² b²c c(a²+b²)|
となる。1列から -2bc、1行から a、2列から b、3列から c を抽出すると
　　　| 0 b c |×(-2bc)
　　　| c (c²+a²) bc |
　　　| b bc (a²+b²)|
となる。(2列)-(c/b)(3列)を計算すると
　　　| 0 b c |×(-2bc) = | 0 b c |×(-2bc)
　　　| 0 a² bc-(c/b)(a²+b²)| | 0 a² -(c/b)a²)|
　　　| b bc (a²+b²) | | b bc (a²+b²) |
となる。さらに
　　　| 0 b c |×(-2bc)ba² = (-c-c)×(-2a²b²c)
　　　| 0 1 -(c/b) |
　　　| 1 bc (a²+b²)|
　 =4(abc)²
となる。