次の関数の最大値と最小値と、そのときのθの値も求めたい。 y=3sin2θ- 2 sinθcosθ+

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質問者：osaka1995
質問日時：2020/05/04 17:35
回答数：2件

次の関数の最大値と最小値と、そのときのθの値も求めたい。

y=3sin2θ- 2 sinθcosθ+ cos2θ (0 ≦ θ ≦ π/2)

根本からわかりません。教えてくださーい。

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回答 (2件)

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No.2

回答者：ありものがたり
回答日時：2020/05/04 18:24

「三角関数の合成」ってやつ。

y = 3sin(2θ) - 2sinθcosθ + cos(2θ)
　= 3sin(2θ) - sin(2θ) + cos(2θ)
　= 2sin(2θ) + cos(2θ)
　= (√5)sin(2θ+α).　　； sin の加法定理を逆用した
ただし、cosα = 2/√5, sinα = 1/√5.
そのような α は、0 < α < π/2 の範囲にとれる。

0 ≦ θ ≦ π/2 より、α ≦ 2θ+α ≦ α+π だから
-sinα ≦ sin(2θ+α) ≦ 1.
よって、y の最大値は √5, 最小値は -1 となる。
最大値をとるのは、2θ+α = π/2 すなわち θ = π/4 - α/2 のとき。
最小値をとるのは、2θ+α = α+π すなわち θ = π/2 のとき。