高校数学:整数

nを正の整数とする。n^2と2n+1は互いに素であることを示せ。という問題で、

n^2 と 2n＋1 の最大公約数を g とする

n^2＝ga, 2n＋1＝gb（a, b は互いに素な正の整数）と表わされるから
1＝4*n^2−(2n−1)(2n＋1)＝g{4a−(2n−1)b}

そして、4a−(2n−1)b は整数で、g は正の整数だから
g＝1

したがって、n^2 と 2n＋1 は互いに素

という流れになるのですが、「4a−(2n−1)b は整数で、g は正の整数だから
g＝1」というところがしっかり理解できません
とても低レベルな質問かと思いますが、教えて下さい。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2020/05/13 06:17

もし、2つの整数A(>0)とBがあってA×B=1だったとすると、A=B=1にならざるを得ないでしょ。

今、A=g、B=4a−(2n−1)bになっているということ。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/13 12:46

1＝g{4a−(2n−1)b}　は

整数gと　整数{4a−(2n−1)b}の掛け算ですから　＜＜＜（{4a−(2n−1)b}は4aが整数、2nが整数で2n-1も整数だから
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　整数ｘ正数である(2n-1)bも整数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ゆえに{4a−(2n−1)b}＝整数-整数=整数)
1=整数ｘ整数　という状態です
ということは
1=1x1か
1=(-1)x(-1)の2通りしかありえませんよね！
今回gは約数ですからgはプラスの整数です
ということは前者の1=1x1ということになります
ゆえに　g=1,{4a−(2n−1)b}=1というケースしかありえないということになります

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/05/13 01:32

1 を割り切る整数は, いくつでしょうか.