単位円のパラメータ表示

単位円：x^2+y^2=1
のパラメータ表示として、
(2ab/(a^2+b^2）,(b^2-a^2)/(a^2+b^2))
があります。
代入すれば、円の方程式を満たすので上に乗っているのはわかりますが、どうやって導くのでしょうか？　1変数ではなくて2変数使う理由がわかりません。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/31 23:40

それは、三角関数の倍角公式です。

x^2 + y^2 = 1 のパラメータ表示として
x = sinθ, y = cosθ がありますね。
θ = 2φ と置換してみると、
x = sin(2φ) = 2(sinφ)(cosφ),
y = cos(2φ) = (cosφ)^2 - (sinφ)^2.
と書けます。

ここで、(a,b) = (r sinφ, r cosφ) と置いてみると、
sinφ = a/r, cosφ = b/r より
x = 2(sinφ)(cosφ) = 2ab/(a^2+b^2),
y = (cosφ)^2 - (sinφ)^2 = (b^2-a^2)/(a^2+b^2).
になります。
平面上の点 (a,b) を、原点を通る半直線で単位円上に投射して、
その偏角を 2倍にした点が (x,y) だというわけです。

No.2 回答者： GBde 回答日時： 2020/06/01 09:12

x = sinθ, y = cosθ がありますね

<--なんと　罪(sin)な...
x=Cos[T],y=Sin[T]