数学Iの二次関数について質問です。 1. 次の放物線をx軸方向に-2、y軸方向に3だけ平行移動した放

数学Iの二次関数について質問です。
1. 次の放物線をx軸方向に-2、y軸方向に3だけ平行移動した放物線の方程式を求めよ。
(2)y＝-x^2＋3
(3)y＝3x^2-2x-1
この問題の中でyをy-3と置いて計算するのですが、y軸方向に3だけ動くということは、
y＋3という事だと思うのですが、解答ではy-3として計算しています。どうしてそれを使って答えに導くのでしょうか？


そして2つめの問題で
二次関数y＝3x^2-4x＋2のグラフをx軸、y軸、原点に関して、対照移動した放物線をグラフとする二次関数をそれぞれ求めよ。
という問題で、具体的にこの問題はどうすれば答えにいくのかが全然分かりません。
数学に詳しい方回答お願いします。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/01 19:27

平行移動くらいなら、「移動量を x,y から引いて置き換える」くらいのことは

覚えておくことが容易ですが、移動が複雑になると、
「y を y-3 で置き換えて」流のやり方はミスの温床になります。
No.4 の[1][2][3]に立ち返って、地道に作業したほうがいいと思います。

x軸対称移動：
y = 3x^2-4x+2 上の点を (p,q) とすると、q = 3p^2-4p+2 が成り立つ。　←[1]
(p,q) を x軸対称に移動した点 (u,v) は、
(u,v) = (p,-q) である。　←[2]
[2]を変形した p = u, q = -v を[1]へ代入すると、-v = 3u^2-4u+2.
これが、移動後の曲線を表している。
曲線 { (u,v) | -v = 3u^2-4u+2 } を、慣習にしたがって x,y で表すために
-y = 3x^2-4x+2 と書き換えて終了。 式を展開整理すれば、
y = -3x^2+4x-2.

y軸対称移動：
y = 3x^2-4x+2 上の点を (p,q) とすると、q = 3p^2-4p+2 が成り立つ。　←[1]
(p,q) を y軸対称に移動した点 (u,v) は、
(u,v) = (-p,q) である。　←[2]
[2]を変形した p = -u, q = v を[1]へ代入すると、v = 3(-u)^2-4(-u)+2.
これが、移動後の曲線を表している。
曲線 { (u,v) | v = 3(-u)^2-4(-u)+2 } を、慣習にしたがって x,y で表すために
y = 3(-x)^2-4(-x)+2. と書き換えて終了。 式を展開整理すれば、
y = 3x^2+4u+2.

原点対称移動：
y = 3x^2-4x+2 上の点を (p,q) とすると、q = 3p^2-4p+2 が成り立つ。　←[1]
(p,q) を 原点対称に移動した点 (u,v) は、
(u,v) = (-p,-q) である。　←[2]
[2]を変形した p = -u, q = -v を[1]へ代入すると、-v = 3(-u)^2-4(-u)+2.
これが、移動後の曲線を表している。
曲線 { (u,v) | -v = 3(-u)^2-4(-u)+2 } を、慣習にしたがって x,y で表すために
-y = 3(-x)^2-4(-x)+2. と書き換えて終了。 式を展開整理すれば、
y = -3x^2-4u-2.

これだって、慣れればイキナリ x, y を -x, -y で置き換えたっていいんですけどね。
でも、それは十分慣れて「どっちをマイナスにするんだっけ？」とか言わなくなってからです。
[2]のステップがあったほうが、間違い難いですから。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/01 19:14

両方とも、与えられた式のグラフを移動する問題ですね。

それのやり方は、いつもひとつです。
[1] もとの曲線上の点を (p,q) とする。
　　元の曲線が f(x,y)=0 だとすると f(p,q)=0 が成り立つ。
[2] (p,q) に、指定された移動を施した点を (u,v) と置く。
　　p,q と u,v の間の関係を式にしておく。
[3] [2]の式を p,q について解いて[1]の式へ代入する。
　　得られた u,v 間の関係式が、移動後の曲線を表す式である。
ほんと単純にこれだけ。

作業してみましょう。
1.(2)
y = -x^2+3 上の点を (p,q) とすると、q = -p^2+3 が成り立つ。　←[1]
(p,q) を x軸方向に -2、y軸方向に 3 だけ平行移動した点 (u,v) は
(p,q) + (-2,3) = (u,v) である。　←[2]
[2]を変形した p = u+2, q = v-3 を[1]へ代入すると、v-3 = -(u+2)^2+3.
これが、移動後の曲線を表している。
曲線 { (u,v) | v-3 = -(u+2)^2+3 } を、慣習にしたがって x,y で表すために
y-3 = -(x+2)^2+3 と書き換えて終了。 式を展開整理すれば、
y = -x^2-4x+2.

ね、y-3 だったか y+3 だったか頭をひねらなくても、自動的に計算できたでしょう？
考えるから間違えるんです。要らないことは考えないほうがいい。

1.(3) もまったく同様です。
y = 3x^2-2x-1 上の点を (p,q) とすると、q = 3p^2-2p-1 が成り立つ。　←[1]
(p,q) を x軸方向に -2、y軸方向に 3 だけ平行移動した点 (u,v) は
(p,q) + (-2,3) = (u,v) である。　←[2]
[2]を変形した p = u+2, q = v-3 を[1]へ代入すると、v-3 = 3(u+2)^2-2(u+2)-1.
これが、移動後の曲線を表している。
曲線 { (u,v) | v-3 = 3(u+2)^2-2(u+2)-1 } を、慣習にしたがって x,y で表すために
y-3 = 3(x+2)^2-2(x+2)-1 と書き換えて終了。 式を展開整理すれば、
y = 3 x^2 + 10 x + 10.

慣れてくると、もとの式の x,y を p,q で置き換えて、p,q に u,v の式を代入して、
最後にまた u,v を x,y に置き換える... という作業がまだるっこしくなって、
y = 3x^2-2x-1 をイキナリ y-3 = 3(x+2)^2-2(x+2)-1 に書き換えたくなります。
参考書とかに書いてある「y を y-3 で置き換えて」というやり方は、
その境地に達した人のための作業法なのです。そっちは、慣れてからでいいです。

No.3 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/06/01 18:15

平方完成させた式で、頂点の位置をずらすことで考えると判り易い

y＝-x^2＋3　←　これは既に平方完成の形になっている。頂点の位置は(0,3)というのが判る、この頂点の位置を　x軸方向に-2、y軸方向に3だけ平行移動
これに　∴に　x軸方向-2　ｙ軸方向3を代入する
(y-3)=-(x+2)^2+3　←　y+3　ではなく　y-3とする、平方完成させた式では　y-=-(x+2)^2+3+3　としなければ　y軸方向に　3平行移動にならない。
y-=-(x+2)^2+3+3　
y=-x^2-4x-4+3+3
y=-x^2-4x+2　←　答えはこうなる

(3)
y=3x^2-2x-1　←　これも強引に平方完成させる
=3(x^2-2(1/3)x)-1
=3(x^2-2(1/3)x+1/9)-1-3/9
=3(x-1/3)^2-4/3　←　頂点は　(1/3,-4/3)　となる。ここから、x軸、y軸、原点に関して、対象移動を考える

x軸に対して対象移動　→　頂点　(1/3,4/3)　で上に凸　式全体の正負の符号を変え頂点の位置も軸対象の位置にする。
∴y=-3(x-1/3)^2+4/3=-3x^2+2x-1/3+4/3=-3x^2+2x+1

y軸に対して対象移動　→　頂点　(-1/3,-4/3)　で下に凸
y=3(x+1/3)^2-4/3=3x^2+2x+1/3-4/3=3x^2+2x-1

原点に対して対象移動　→　頂点　(-1/3,4/3)　で上に凸
y=-3(x+1/3)^2+4/3=-3x^2-2x-1/3+4/3=3x^2-2x+1

平方完成させて頂点の位置を求め、対象移動する分の値を、頂点に代入、上下の凸が変化するなら式全体の符号を変える、
やっていることはそんなに難しくはないですが、式の計算がちょっと複雑になります、私が計算した値は一応、検算してください。

No.2 回答者： ほい3 回答日時： 2020/06/01 18:12

＞y軸方向に3だけ動くということは、y＋3という事だと思うのですが

話を簡単にするため、1次方程式ｙ＝ax+b　においてy軸方向＋３は
ｙ＝ax+b+3　で良いですか？
ならば、両辺から3を引くと、y-3=ax+b　になるのです。

任意の座標（x1,y1）のx軸に関して、対照点は（x1,-y1）です。
同じｘ座標で、ｙの変位分逆というわけで
y＝3x²-4x＋2　が　-y＝3x²-4x＋2　となり、
y=-3x²＋4x-2　

任意の座標（x1,y1）のy軸に関して、対照点は（-x1,y1）です。
y＝3x²-4x＋2　が　y＝3x²＋4x＋2　

任意の座標（x1,y1）の原点に関して、対照点は（-x1,-y1）です。
y＝3x²-4x＋2　が　-y＝3x²＋4x＋2　となり、
y=-3x²-4x-2

どうでしょうか？

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/01 18:10

例えば（２）で平行移動前の点(0,3)は平行移動後(-2,6に移ります)

平行移動前の式y=-x^2+3に平行移動前の点を代入した式は　3=-0²+3です
ここで平行移動後の点(-2,6)を無理やりy=-x^2+3に代入してみます
すると　6=-(-2)²+3となり当然ながら[=]が成り立っていません！
そこで　無理やり代入した式を補正して3=-0²+3にすることを考えます
そのためには　6-3=-(-2+2)²+3とするべきです
⇔左辺=6-3=3 右辺=-(-2+2)²+3=-(0)²+3・・・これで平行移動前の式に平行移動前の点を代入した式に補正できました！
つまり、　x-(-2)とかy-3とは　平行移動後の点の座標を平行移動前の物に戻す効果を果たしているということです！
こうのように元の座標に戻しておいてから　元の式に代入するというのが　ｘ→x-(-2)、y→y-3という置き換えなのです
（x-(-2)、y-3について、具体的にx=-2,y=6を代入したのが上の補正の説明になります）


次に２つめ
例(1,2)をx軸に関して対象移動(x軸で折り返した位置に移動）→　(1,-2)に移ります
一般化して(x,y)→(x,-y)に移るということです
ゆえに、x軸に関する対象移動では、元の式のyを-yに置き換えて整理すれば答えです

同様に考えて　y軸対象ではx→-xに置き換え

原点対象では(1,2)は180°回転して(-1,-2)に移るので
x→-x,y→-yという置き換えをします