数学の問題

放物線y=-1/5x^2+2xと直線y=xによって囲まれる領域(境界を含む)に含まれ、各辺がx軸またはy軸に平行となる正方形の面積の最大値を求めよ。


という問題がわかりません。
誰か教えてください!!

No.4 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/04/22 09:47

別の解法を参考までに回答します。

y=-1/5x^2+2x=(-1/5)(x^2-10x)=(-1/5){(x-5)^2-25}
よってこの放物線はx=5で極大値5、点(0,0)、点(0,10)
を通る上に凸な放物線であり、y=xとの交点は(0,0)と
(5,5)になる(図を描くと、以下の説明が分かり易い)。
各辺がx軸またはy軸に平行となる正方形の対角線の
うちの1本はy=xと直交する。その対角線の長さLが
最大となるときに正方形の面積も最大になる。
Lが最大となるのは、Lの一端(放物線上の点)における
放物線の接線が直線y=xと平行となる場合である。
この接線をy=x+C(定数)とすると、放物線との接点は
y=-1/5x^2+2x=x+Cとおいてx^2-5x+5C=0が重根をもつ
条件から、x=5/2が得られる。このとき、
y=-1/5x^2+2x=(-1/5)(5/2)^2+2(5/2)=-5/4+5=15/4。
従ってLの一端(放物線上)が点(5/2,15/4)のときにLは
最大となり、求める正方形の面積も最大となる。
この点及びこの点からy=xに下ろした垂線の足をLの両端
とする正方形の１辺の長さをaとすると、
5/2+a=15/4-aが成り立ち、a=5/8が得られる。
よって求める面積はa^2=25/64・・・・答えとなる。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/04/21 23:10

#2です。

A#2の回答の図を作成したので添付します。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/04/21 22:34

必ず自身で図を描いて下さい。

そうすると以下の解答がわかり易いでしょう。

　y=-(1/5)x^2+2x ...(1)
　y=x ...(2)

正方形ABCDの対角線ACの直線を
　y=2k-x (0<k<5) ...(3)
とおき、この直線(3)と(1)の交点Aのx座標を求めると
　2k-x=-(1/5)x^2+2x
　x^2-15x+10k=0
(1)と(2)で囲まれた囲まれたxの範囲は0≦x≦5なので
　x={15-√(5(45-8k))}/2
直線(2)と直線(3)の交点のx座標は
　x=k (0<k<5)
従って正方形ABCDの一辺の長さLは
　L=k-{15-√(5(45-8k))}/2={2k-15+√(5(45-8k))}/2
面積S=L^2が最大になるのはLが最大になるときであるから
　L=k-{15-√(5(45-8k))}/2={2k-15+√(5(45-8k))}/2(=f(k)とおく。)
　f'(k)={2k-15+√(5(45-8k))}/2 (0<k<5)
　f'(k)=0から k=25/8
0<k<25/8で f'(k)>0, 25<k<5でf'(k)<0であることから
　k=25/8で正方形ABCDの面積S=L^2は、極大値（最大値）
　S={f(25/8)}^2=25/64
をとる。

No.1 回答者： Cupper-2 回答日時： 2012/04/21 20:19

まあ、設問の文章がおかしいのは置いといて...。

んと…その設問の中の何が分からないのでしょうか。

　「放物線y=-1/5x^2+2x」
が何を示すのか分からないとか
具体的に示してみてください。


…
グラフを描いてみると意外と簡単に解ける問題ですよ？
まずはグラフを描く習慣を付けてみましょう。
式だけをいじりまわして解ける問題ではありませんからねえ。
グラフを描かずに問題を解く人は頭の中にグラフのイメージがありますから
実際に描かなくても解けると言うだけですので、正しいイメージができないのでしたら
まずはグラフを描くことから始めましょう。
（中学では方眼紙にグラフを描くことから始めていたはずです）