三角関数について

２回目の質問失礼致します。
こちらも問題を解いてイマイチ分からなかったのですが、
2つの三角関数の和であるＹ＝sinX＋√3cosXの最大値と最小値の求め方を教えて下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/06/25 20:35

Ｙ＝sinX＋√3cosX　←　両辺を2で割る

y/2＝(1/2)･sinX＋(√3/2)･cosX
＝cos(π/3)･sinX＋sin(π/3)･cosX　←　これに加法定理を使う
＝sin(X+π/3)
y＝2sin(X+π/3)　範囲が指定されていなければ、最大値2、最小値-2

sinとcosのどちらかの前に、唐突に√3が出てきたら加法定理を利用できる事が多いです。

この回答へのお礼

ありがとうございました！詳しく書いて頂きとても分かりやすかったので有難かったです。

お礼日時：2020/06/25 23:00

No.4 回答者： himagene 回答日時： 2020/06/25 21:40

A sinX＋B cosX = √(A^2+B^2) * sin[X+arcsin(B/A}]=√(A^2+B^2) * cos[X-arcsin(B/A}]

最大値と最小値はそれぞれ、√(A^2+B^2) と -√(A^2+B^2) です。

公式を丸暗記しようとするからすぐ忘れてしまう。
半径がAとBの同心円と円の中心を原点としたXY座標、原点を通りX軸からの角度Xの直線を描きます。AsinXは角度Xの直線と半径がAの円の交点からX軸までの距離（交点とX軸を結ぶ線分）、BcosXは角度Xの直線と半径がBの円の交点からY軸までの距離交点とY軸を結ぶ線分）。これらの線分を平行移動して原点を線分の出発点となる様にすると、辺の長さがA sinXとB cosX の長方形ができる。原点を通る対角線の長さが √(A^2+B^2) で、角度Xの直線と対角線の間の角度がarcsin(B/A}　です。
図を描いて考えてみてください。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/25 20:52

定数 a, b によって y = a sin x + b cos x なら

y = √(a^2+b^2) sin(x + c),　a/√(a^2+b^2) = cos c,　b/√(a^2+b^2) = sin c.
と書くことができる。 この小技を「三角関数の合成」というね。
x + c が 0 〜 2π をカバーするならば、 -√(a^2+b^2) ≦ y ≦ √(a^2+b^2).

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2020/06/25 20:38

sinX の係数=1 と cosX の係数=√3 から

√{1²+(√3)²}=2 で右辺を割って掛けると
Y=2{1/2 sinX+√3/2 cosX}
=2{cosπ/3 sinX+sinπ/3 cosX}
=2sin(X+π/3)
でもって X の範囲が与えられていなければ一周回るとして考える。
もし、一周回るのであれば sin は -1 から 1 迄なので
-2≦Y=2sin(X+π/3)≦2
もし、X の範囲が制限されているのであればその範囲で考える。