質問です。 lim[θ↗︎π] (1-cosθ)/sinθが∞になることを示せ。 お願いします。

質問です。
lim[θ↗︎π] (1-cosθ)/sinθが∞になることを示せ。
お願いします。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/06/28 12:14

蛇足。

入力の仕方がわからないけど(^-^;
右肩上がりの矢印で左極限
右肩下がりの矢印右極限
という流儀もあるのですよ。→NO2、3

解析学だとこのての方言、沢山あります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/27 14:17

lim[θ→π] (1 - cosθ) = 2,

lim[θ→π] sinθ = 0
なので、
lim[θ→π] (1 - cosθ)/sinθ は無限大発散ですね。

θ≒π での sinθ の正負を考えると、
lim[θ→π-0] (1 - cosθ)/sinθ = +∞,
lim[θ→π+0] (1 - cosθ)/sinθ = -∞
であることも判ります。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2020/06/27 13:52

「 lim[θ↗︎π] 」では スタート地点が分かりません。

θ の範囲は 0 → π ではありませんか。
cosπ＝-1, sinπ＝0 ですから、
(1-cosθ)/sinθ は +2 に近づき
分母が +0 に近づくので (0 にはなりません)
分数の値は +∞ になります。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/27 13:26

式はlim[θ↗︎π] (1-cosθ)/sinθが∞で正しいですか？

lim[θ↗︎π-0]ではありませんか？

前者ならマイナス∞になる可能性もあります

以下後者の場合について

半角公式などにより
1-cosθ=1-cos2(θ/2)=2sin²(θ/2)
倍角公式で
sinθ =sin2(θ/2)=2sin(θ/2)cos(θ/2)
θ/2=tとおけば　
θ→π-0なら　t→π/2-0だから
lim[θ↗︎π-0] (1-cosθ)/sinθ＝lim[θ↗︎π-0] 2sin²(θ/2)/2sin(θ/2)cos(θ/2)
＝lim[θ↗︎π-0] sin(θ/2)/cos(θ/2)
=lim[t↗︎π/2-0]sint/cost
= lim[t↗︎π/2-0]tant
=+∞
（ちなみに　lim[θ↗︎π＋０] (1-cosθ)/sinθ=lim[t↗︎π/2＋0]tant=ー∞）

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/06/27 13:02

1-cosθは2に近づき、sinθはプラスから0に近づくから

プラスの無限大へ発散する。