ε-δ論法です。 f(x)を区間Iで定義された関数でa∈Iで連続、f(a)≠0とする。この時、1/f

ε-δ論法です。
f(x)を区間Iで定義された関数でa∈Iで連続、f(a)≠0とする。この時、1/f(x)がaにおいて連続であることを詳しく証明して下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/07/01 05:34

∀ε>0,∃δ>0, |x-a|<δ → |f(x)-f(a)|<ε・・・・①

①で、ε=|f(a)|/2 (>0) とすれば、３角不等式から
|f(a)|-|f(x)|<|f(x)-f(a)|<|f(a)|/2 → |f(x)|>|f(a)|/2・・・・②
となる。この時のδをδ'とする。

➀で、ε → εf(a)²/2 (>0) として、この時のδをδ''とすると、|f(x)-f(a)|<εf(a)²/2・・・・③
となる。この時、
δ=min{δ', δ''}・・・・④
として、次式を計算すると、②➂を使って
|1/f(x)-1/f(a)|=|f(x)-f(a)|/|f(x)||f(a)|<|f(x)-f(a)|2/f(a)²<ε

つまり、④のδを使って
∀ε>0,∃δ>0, |x-a|<δ → |1/f(x)-1/f(a)|<ε
となるから、命題が証明された。