以下の問題の条件について質問します

「関数ｆ(ｘ)＝bx＋１/ｘ＋aが、その逆関数f^－１(ｘ)と一致するための条件を求めよ」という問題について、答えはa=－ｂで自分の出した答えと合っているのですが、Xについての条件は、X≠－a,X≠ｂでも正解になりますか。
解答には、「X＋a≠0かつ（a＋ｂ）ｘ＋a^2＋1≠0をみたすすべてのｘに対して、a＋ｂ＝0」と記載されているのですが、（a＋ｂ）ｘ＋a^2＋1≠0の導き出し方がよくわかりません。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/12 11:29

「関数ｆ(ｘ)＝bx＋１/ｘ＋a」は、常識的には f(x)=bx+(1/x)+a と読むべき式ですが、

質問文中の答えと合うように f(x)=(bx+1)/(x+a) と読むことにします。
式の書き方には注意したほうがよいですよ。

その解答は、変です。
「ｆ(ｘ) が、その逆関数 f^-1(x) と一致するための条件」と言ったら
f(x) を定義するためのパラメータ a, b に対する条件を指すはすで、
そこに「x についての条件」を添える必要はありません。
それどころか、x についての条件を添えてしまったら、
x に条件を課して初めて ｆ(ｘ) と f^-1(x) の値が一致することになってしまい
関数 ｆ(ｘ) と f^-1(x) が一致したことになりません。
答えは、「a=-ｂ」だけでなければならない。(a+b=0 でもokです。)

f(x)=(bx+1)/(x+a) の式を見れば、その定義域が x≠-a であることは明らかです。
f(x) の定義域を書くとしたら、「x≠-a」だけで十分で、
a=-b だからといって「x≠-a,x≠b」と書くのは冗長です。
a=-b の条件下に x≠-a と x≠-a,x≠b は同値だから
もちろん論理的には間違っていないのだけれど、
その書き方では、何だか「解ってない」印象が強く漂います。

「(a+ｂ)ｘ+a^2+1≠0 をみたすすべての ｘ」についても、
No.1 さんが書いておられるように全く冗長です。
その解答執筆者は、大丈夫なんでしょうか」？

この回答へのお礼

詳細な回答ありがとうございます。
記載の仕方については気が付きませんでした。ご指摘いただきありがとうございました。

お礼日時：2020/07/12 15:42

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/07/11 22:20

あなたは極めて不誠実です。

それはおいて
f(x)=(bx+1)/(x+a) とすると、xについての条件は、x≠－a,x≠ｂで良いと思います。

というのは解答の「x＋a≠0かつ（a＋ｂ）ｘ＋a^2＋1≠0をみたすすべてのｘに対して、a＋ｂ＝0」
というのは a+b=0ですから、条件は、a²+1≠0という当たり前の式になります。