連立方程式 y’=z/x z’=y/x を解けという問題が分かりません。 合っているかは分かりません

連立方程式
y’=z/x
z’=y/x
を解けという問題が分かりません。
合っているかは分かりませんが
(x^2)y’’+2xy’+(1/x)y=0
というところまでは解きました。
分かる方よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 第一ヒントで第一式の両辺をxで微分しzとz'を消去する。
  第二ヒントで得られた二階微分方程式はオイラーの方程式なので、変数変換x=e^tを用いる。
  と書いてあるのですがこれはどうしたら良いのでしょうか？

    補足日時：2020/07/18 21:06

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/07/18 19:23

dy/dx=z/x …(1)

dz/dx=y/x …(2)

(2)より、
dz/dx=(dz/dy)(dy/dx)=y/x
(dz/dy)(z/x)=y/x
∫y dy=∫z dz
(1/2)y^2=(1/2)z^2 + C'
y^2=z^2 + C
C=2C'：積分定数

あれ、こうなるとyとzはy^2=z^2 + Cを満たせば、xの関数としてはなんでも良い（ただしx≠0）ということになるな。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/18 20:14

(1)+(2) より d(y+z)/dx = (y+z)/x.

これは変数分離型で、y+z = Ax ｛Aは定数｝ と解ける。
(1)-(2) もの同様で、d(y-z) = -(y-z)/x より
変数分離型で、y-z = B/x {Bは定数} と解ける。
よって、
y = Cx + D/x,
z = Cx - D/x
{C=(A+B)/2 と D =(A-B)/2 は定数}.

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2020/07/21 17:07