数学で質問があります！ なぜこのように言えるのでしょうか？

数学で質問があります！
なぜこのように言えるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 説明不足ですいません
  黄色いマーカーを引いているところで
  9n+3と7n+2の最大公約数が、7n+2と2n−1の最大公約数が等しいとなるのかがわかりません

    補足日時：2020/08/04 14:49

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/04 14:46

このように　とは？

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/04 15:04

互除法を噛んで含めて説明すると

「割られる数と割る数の最大公約数は
割る数とあまりの公約数に等しい」ということが言えるのです
（詳しい照明はテキストなど参照）

さてここで、基本公式：(割られる数)＝(割る数)x(商)＋(あまり)という関係にあてはめると
9n+3=(7n+2)・1+(2n+1)は
割られる数が9n+3で　割る数は7n+2 （商は１）　余りは2n+1だということがわかりますよね！
ですから冒頭の関係を適用すれば
割られる数:9n+3と割る数7n+2の最大公約数は
割る数：7n+2とあまり:2n+1の最大公約数に等しいといえるのです

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2020/08/04 15:25

文字は 全て整数とします。

一番上の式 9n+3=(7n+2)*1+(2n+1) は 分かりますね。
9n+3 と 7n+2 の 両方を割り切る数を a とし、
9n+3=P, 7n+2=Q, 2n+1=R とします。
すると P=aS, D=aT と表すことが出来ます。
上の式は aS=aQ+R となり、R=aK でなければなりません。
つまり P と Q の約数全体は、Q と R との約数全体でなければなりません。
従って、9n+3 と 7n+2 との最大公約数は、7n+2 と 2n+1 との最大公約数と一致します。

※ ネットで、「ユークリッドの互除法」で検索すると、
分かり易い解説が あるかもしれません。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/04 20:01

9n+3 = (7n+2)・1 + (2n+1) この式を見れば、

7n+2 と 2n+1 の公約数は 9n+3 の約数でもあることが判りますね。
右辺の約数は、左辺の約数でもありますから。
式を 2n+1 = 9n+3 - (7n+2)・1 と見れば、
9n+3 と 7n+2 の公約数は 2n+1 の約数でもあることも判ります。
そのような三者の公約数の中で最大のものが、
9n+3 と 7n+2 の最大公約数であり
7n+2 と 2n+1 の最大公約数でもあります。

No.5 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/08/04 22:51

(9n+3)と(7n+2)の最大公約数をG、(7n+2)と(2n+1)の最大公約数をG'とします。

9n+3=(7n+2)・1 + (2n+1)
(7n+2)と(2n+1)はG'の倍数なので、(9n+3)もG'の倍数です。
よって、G'は(9n+3)と(7n+2)の公約数です。
(9n+3)と(7n+2)の最大公約数はGなので、G≧G'……①

2n+1=(9n+3)－(7n+2)・1
(9n+3)と(7n+2)はGの倍数なので、(2n+1)もGの倍数です。
よって、Gは(2n+1)と(7n+2)の公約数です。
(2n+1)と(7n+2)の最大公約数はG’なので、G’≧G……②

①、②より、
G＝G'

したがって、
(9n+3)と(7n+2)の最大公約数は、(7n+2)と(2n+1)の最大公約数に等しくなります。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/08/04 23:52

「ユークリッドの互除法」って, もともとは

a と b の最大公約数は a と a-b の最大公約数に等しい
だって聞いたことがある.

No.7 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/08/05 00:33

例えば、

39=30+9
39-30=9
・・・□,□,30,□,□,□,39
と何かの倍数の数列を考えます。
全部が等間隔で並んでいます。30から39の差も等間隔でなければなりません。
30から39までの差の9と、30が同じ数の倍数でなければ39になりません。
その同じ数というのが倍数・約数の関係から、
差の9の約数であり30の約数でもあり39の約数でもありなので、9と30の最大公約数がこの倍数の数列になり、30と39の最大公約数がこの倍数の数列になるので、9と30の最大公約数と30と39の最大公約数は等しくなります。

9n+3と7n+2がなにかの倍数であるのであれば、(9n+3)-(7n+2)の2n+1もそのなにかの倍数になっていないといけないから、9n+3の約数でもあり7n+2の約数でもあり2n+1の約数でもあるので、9n+3と7n+2の最大公約数と7n+2と2n+1の最大公約数は等しくなります。