３次元波動方程式がわかる方をお願いいたします。

(∂^2 u(r,t))/(∂t^2 )=c^2 ∇^2 u(r,t)
平面波と球面波は以下の特解であることを代入によって確かめる。
平面波：u(r,t)={Aexp(ik.r)+Bexp(-ik.r)}e^(-iωt)
球面波：u(r,t)=(A(e^ikr/r)+B(e^(-ikr)/r)) e^(-iωt)

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/11 14:10

訂正です

平面波：u(r,t)={Aexp(ik.r)+Bexp(-ik.r)}e^(-iωt)＝ｆ(ｒ)g(t)として
c^2 ∇^2 ｆ(ｒ)＝Ｅf(ｒ)・・・②
です。極座標のラプラシアンで計算してくださいＥ＝－ω^2
c^2 ∇^2 ｆ(ｒ)＝-ω^2f(ｒ)を確認してください。
球面波も同じです。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/10 16:25

平面波：u(r,t)={Aexp(ik.r)+Bexp(-ik.r)}e^(-iωt)＝ｆ(x)g(t)として

(∂^2ｆ(x)g(t) )/(∂t^2 )=c^2 ∇^2 ｆ(x)g(t)
ｆ(x)(∂^2g(t) )/(∂t^2 )=g(t)c^2 ∇^2 ｆ(x)
両辺をｆ(x)g(t)で割ると
1/g(t)*(∂^2g(t) )/(∂t^2 )=1/f(x)*c^2 ∇^2 ｆ(x)
変数が両辺で違うということは，それぞれ好き勝手な値を取れるということです。 にもかかわらずイコールで結ばれているのは，両辺とも定数であるに違いないということです。 この定数を E とおきます。
1/g(t)*(∂^2g(t) )/(∂t^2 )=Ｅ
(∂^2g(t) )/(∂t^2 )=Ｅｇ(t)・・・①
1/f(x)*c^2 ∇^2 ｆ(x)＝Ｅ
c^2 ∇^2 ｆ(x)＝Ｅf(x)・・・②
それぞれ一変数しか持たない常微分方程式になりました。
後は、①からg(t)=e^(-iωt)
②からf(x)={Aexp(ik.r)+Bexp(-ik.r)}
となることを確かめるだけです。
例えば①
(∂^2g(t) )/(∂t^2 )=ーω^2e^(-iωt)=Ee^(-iωt)でE=-ω^2となる。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/08/08 08:56

代入するだけです。

頑張りましょう。