【無料配信♪】Renta !全タテコミ作品第1話

空間内の様々な位置で測定された物理量を表現することを考える。簡単のため、物理量は x 軸方向にのみ変化しているとし、時刻 t, 位置 x における、物理量の分布を f(t,x) と表す。この物理量の時間変化を測定したところ、f(t,x) = F(x) e^6t と表されることが分かった。ここに、定数 6 の持つ単位を SI単位系の基本単位を用いて表すと(1)である。
この物理量は、偏微分方程式 δf/δt=2(δf/δx)に従って、空間分布が変化していくとする。ここで偏微分とは、他の変数を全て定数と考えた時の微分を表す。f(t,x) の形を与えられた偏微分方程式に代入すると、F(x) の満たす微分方程式としてdF/dx=(2)が得られる。もし、この物理量が x=0 において f(t, x=0)=5e^6t というように時間変化していたとすると、時刻 t, 位置 x における物理量は f(t,x)=(3)e^(4)と与えられる。ここから、物理量の空間分布は(5)方向 [+x または -x より選ぶこと]に速さ(6)で平行移動することがわかる。
()に当てはまるものを答えよ。
(1)m
(2)df/2dt
(3)30
(4)6t
(5)+x
(6)5e^6t

A 回答 (1件)

(1) 時間 t との積「6t」が無次元にならないといけないので「1/s」



(2) ∂f/∂t = 6F(x)*e^(6t) であり
 ∂f/∂x = (dF/dx)*e^(6t) なので、偏微分方程式は
  6F(x)*e^(6t) = 2(dF/dx)*e^(6t)
と書き換えられ、従って
 dF/dx = 3F(x)     ②

あなたの書いた「df/2dt」とは、どういう意味の式ですか? 「微分」の式の「分母っぽいところ(分母ではない)」に「2」がある意味は何ですか?

(3)(4) ②の解は、
 ∫(1/F)dF = 3∫dx
より
 log|F| = 3x + C1 (C1:積分定数) 
→ F = ±e^(3x + C1) = C*e^(3x) (C = ±e^C1)    ③

f(t, x=0) = F(0)*e^(6t) = 5e^(6t) であれば
 F(0) = 5
ということなので、③は
 F(0) = C = 5
より
 F(x) = 5e^(3x)    ③'

従って
 f(t, x) = 5e^(3x)*e^(6t) = 5e(3x + 6t)    ④    ←これが(3)(4)

(5) ④の形からわかるように「-x」の方向に進む。
同じ物理量 f(t, x) = A の値が、t → 大きくなる(時間が進む)と x → 小さくなる、となることがわかりますか?

(6) 上の例でいえば
 f(t, x) = A = 5e(3x + 6t)
となる物理量の「ある値A」は
 3x + 6t = log(A/5)   ⑤
のときに出現する。
この「ある値A」を出現させる変数の時間変化率は、⑤を時間で微分して
 3(dx/dt) + 6 = 0
よって
 dx/dt = -2
つまり速さは「-2」
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この回答へのお礼

ありがとうごさまいます!

お礼日時:2020/08/13 17:57

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