代数学の問題なのですが次のことが分かりません。 絶対値1の複素数全体の集合をTとする。 T=｛z∈C

代数学の問題なのですが次のことが分かりません。

絶対値1の複素数全体の集合をTとする。
T=｛z∈C；|z|＝1｝＝｛e^iθ＝cosθ+isinθ；θ∈R} の時

(3)写像f(e^iθ)=(1段目 cosθ -sinθ 2段目 sinθ cosθ)は(T,×)から SO(2,R)への群同型写像であることを示せ。

どなたかご教授お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/18 18:45

(T,×) や SO(2,R) がそれぞれ群であることは既知としていいのですね？

それなら、f が演算を保存することを示すだけです。

f( (e^iθ1)(e^iθ2) ) = f( e^i(θ1+θ2) ) =
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　cos(θ1+θ2)　　　-sin(θ1+θ2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　sin(θ1+θ2)　　　cos(θ1+θ2).
一方
f( e^i(θ1) ) =
　　　　　　　　cos(θ1)　　　-sin(θ1)
　　　　　　　　sin(θ1)　　　cos(θ1),
f( e^i(θ2) ) =
　　　　　　　　cos(θ2)　　　-sin(θ2)
　　　　　　　　sin(θ2)　　　cos(θ2)
なので、

右辺の行列積を計算すれば、 f( (e^iθ1)(e^iθ2) ) = f( e^i(θ1) ) f( e^i(θ2) )
であることが判ります。